Bài 38 Trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 38.

a) Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị \((C)\) của hàm số:

\(y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x - 3}}\)

b) Xác định giao điểm \(I\) của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \).

c) Viết phương trinh của đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\).

Từ đó suy ra rằng \(I\) là tâm đối xứng của đường cong \((C)\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(y = x + 1 + {5 \over {x - 3}}\)

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Vì 

\(\left\{ \matrix{
y'\left( 1 \right) = 0 \hfill \cr
y\left( 1 \right) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b = - 3 \hfill \cr
c = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y =  - \infty \) nên \(x = 3\) là tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {5 \over {x - 3}} = 0\) nên \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên.

b) Tọa độ giao điểm \(I(x;y)\) của hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
y = x + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
y = 4 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(I(3;4)\) là giao điểm của hai tiệm cận trên.

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là 

\(\left\{ \matrix{
x = X + 3 \hfill \cr
y = Y + 4 \hfill \cr} \right.\)

c) Phương trình của đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là

\(Y + 4 = X + 3 + 1 + {5 \over {X + 3 - 3}} \Leftrightarrow Y = X + {5 \over X}\)

Đây là hàm số lẻ, do đó \((C)\) nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.