Bài 2 trang 77 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số:

a) \(y = 2xe^x +3sin2x\);

b) \(y = 5x^2- 2^xcosx\);

c) \(y = {{x + 1} \over {{3^x}}}\).

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x},\,\left( {\sin kx} \right)' = k\cos kx\) và quy tắc tính đạo hàm của một tích: \(\left( {uv} \right)' = u'.v + u.v'\).

b) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}},\,\,\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\) và quy tắc tính đạo hàm của một tích: \(\left( {uv} \right)' = u'.v + u.v'\).

c) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \(\left( {{x^n}} \right) = n.{x^{n - 1}},\,\,\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}.\ln a\) và quy tắc tính đạo hàm của một thương: \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'.v - u.v'}}{{{v^2}}}\).

Lời giải chi tiết

a)

\(y' = (2x{e^x})' + 3(\sin 2x)' \)

\(= 2.{e^x} + 2x({e^x})'+ {\rm{ }}3.2cos2x\)

\(=2\left( {1 + x} \right){e^x} + 6cos2x\)

b) 

\(\begin{array}{l}y' = 5.2x - \left( {\left( {{2^x}} \right)'.\cos x + {2^x}.\left( {\cos x} \right)'} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 10x - \left( {{2^x}.\ln 2.\cos x - {2^x}.\sin x} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 10x - {2^x}\left( {\ln 2\cos x - \sin x} \right)\end{array}\)

c) 

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {x + 1} \right)'{{.3}^x} - \left( {x + 1} \right).\left( {{3^x}} \right)'}}{{{{\left( {{3^x}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{3^x} - \left( {x + 1} \right){{.3}^x}\ln 3}}{{{{\left( {{3^x}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{{3^x}\left( {1 - \left( {x + 1} \right)\ln 3} \right)}}{{{{\left( {{3^x}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{1 - \left( {x + 1} \right)\ln 3}}{{{3^x}}}\end{array}\)