Câu 5 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Giải các phương trình sau :

a. \(2\sin \left( {x + 10^\circ } \right) - \sqrt {12} \cos \left( {x + 10^\circ } \right) = 3\)

b. \(\sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x = 2\cos 3x\)

c. \({\sin ^2}x - 3\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\)

Hướng dẫn giải

a.

\({a^2} + {b^2} = {2^2} + {\left( { - \sqrt {12} } \right)^2} = 16.\) Chia hai vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 4\) ta được :

\(\eqalign{  & {1 \over 2}\sin \left( {x + 10^\circ } \right) - {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left( {x + 10^\circ } \right) = {3 \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow \sin \left( {x + 10^\circ } \right)\cos 60^\circ  - \sin 60^\circ \cos \left( {x + 10^\circ } \right) = {3 \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow \sin \left( {x - 50^\circ } \right) = \sin \alpha \,\text{ với }\,\sin \alpha  = {3 \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x - 50^\circ  = \alpha  + k360^\circ }  \cr   {x - 50^\circ  = 180^\circ  - \alpha  + k360^\circ }  \cr  } } \right.  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = \alpha  + 50^\circ  + k360^\circ }  \cr   {x = 230^\circ  - \alpha  + k360^\circ }  \cr  } } \right. \cr} \)

b.

\(\eqalign{  & \sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x = 2\cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 5x + {1 \over 2}\sin 5x = \cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow \cos 5x.\cos {\pi  \over 6} + \sin 5x\sin {\pi  \over 6} = \cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow \cos \left( {5x - {\pi  \over 6}} \right) = \cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {5x - {\pi  \over 6} = 3x + k2\pi }  \cr   {5x - {\pi  \over 6} =  - 3x + k2\pi }  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over {12}} + k\pi }  \cr   {x = {\pi  \over {48}} + k{\pi  \over 4}}  \cr  } } \right. \cr} \)

c. * \(\cos x = 0 \Rightarrow \sin x =  \pm 1\,\text{ nên }\,x = {\pi  \over 2} + k\pi \) không là nghiệm của phương trình.

* Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được :

\({\tan ^2}x - 3\tan x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\tan x = 1}  \cr   {\tan x = 2}  \cr  } } \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 4} + k\pi }  \cr   {x = \arctan 2 + k\pi }  \cr  } } \right.\)