Câu 53 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} - 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :

a. Biết tung độ tiếp điểm bằng 2

b. Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành

c. Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y =  - {1 \over 8}x + 3\)

d. Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; -6)

Hướng dẫn giải

a. \(f'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x\) .Ta có \(2 = {y_0} = x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x_0^2 = 1}  \cr   {x_0^2 =  - 3\,\left( \text{loại} \right)}  \cr  }  \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 1} \right.\)

* Với x₀ = 1 ta có \(f'\left( 1 \right) = {4.1^3} + 4.1 = 8\)

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

\(y - 2 = 8\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = 8x - 6\)

* Với x₀ = -1 ta có \(f'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) =  - 8\)

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

\(y - 2 =  - 8\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y =  - 8x - 6\)

b. Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x₀ thỏa :

\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow 4{x_0}\left( {x_0^2 + 1} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x_0} = 0\,\,\left( {{y_0} =  - 1} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : \(y - \left( { - 1} \right) = 0\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y =  - 1\)

c. Vì tiếp tuyến phải tìm vuông góc với đường thẳng \(y =  - {1 \over 8}x + 3,\) nên hệ số vuông góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra :

\(\eqalign{  & y' = 8 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4x - 8 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr} \)

Theo câu a, ta được phương trình tiếp tuyến phải tìm là : \(y = 8x – 6\)

d. Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) của đồ thị (C) là :

\(\eqalign{  & y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow y = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr} \)

Vì tiếp tuyến phải tìm đi qua điểm A(0 ; -6) nên ta có :

\(\eqalign{  &  - 6 = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1  \cr  &  \Leftrightarrow 3x_0^4 + 2x_0^2 - 5 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow x_0^2 = 1\Leftrightarrow{x_0} =  \pm 1 \cr} \)

Theo câu a, phương trình của hai tiếp tuyến cần phải tìm lần lượt là :

\(y = 8x - 6;\;y =  - 8x -6\)

Cách 2 : Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ; -6) với hệ số góc bằng k là : y = kx – 6

Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (C)) thì ta phải tìm k sao cho :

\(\left\{ {\matrix{   {f\left( x \right) = kx - 6}  \cr   {f'\left( x \right) = k}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {{x^4} + 2{x^2} - 1 = kx - 6}  \cr   {4{x^3} + 4x = k}  \cr  } } \right.\)

Khử k từ hệ trên ta được : \(3{x^4} + 2{x^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Suy ra \(k = ± 8\).

Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là : \(y = 8x - 6;\;y =  - 8x -6\)