Câu 5 trang 192 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3},\) biết

a. Tiếp điểm có hoành độ bằng -1

b. Tiếp điểm có tung độ bằng 8

c. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\(\eqalign{  & {x_0} =  - 1;{y_0} = {\left( { - 1} \right)^3} =  - 1  \cr  & f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}}  \cr  &  = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^3} - x_0^3} \over {\Delta x}}  \cr  &  = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{3x_0^2\Delta x + 3{x_0}(\Delta x)^2 + {\Delta ^3}x} \over {\Delta x}}  \cr  &  = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3x_0^2 + 3{x_0}\Delta x + {\Delta ^2}x} \right) = 3x_0^2 \cr} \)

Với x₀ = -1 ta có \(f’(-1) = 3{\left( { - 1} \right)^2} = 3\)

Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại tiếp điểm có hoành độ bằng -1 là :

\(y - \left( { - 1} \right) = 3\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = 3x + 2\)

b. Với \({y_0} = 8 = x_0^3 \Rightarrow {x_0} = 2\)

\(f'\left( 2 \right) = {3.2^2} = 12\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

\(y - 8 = 12\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow y = 12x - 16\)

c. Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm ta có :

\(f'\left( {{x_0}} \right) = 3 \Leftrightarrow 3x_0^2 = 3 \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 1\)

Với x₀ = 1 ta có y₀ = 1 và phương trình tiếp tuyến là :

\(y - 1 = 3\left( {x - 1} \right)\,hay\,y = 3x - 2\)

Với x­­₀ = -1 ta có y₀ = -1 và phương trình tiếp tuyến là :

\(y -(- 1) = 3\left( {x + 1} \right)\,hay\,y = 3x + 2\)