Bài 4 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

a) y = x² + 2x – 2 trên mỗi khoảng \((-∞; -1)\) và \((-1, +∞)\)

b) y = -2x + 4x + 1  trên mỗi khoảng \((-∞; 1)\) và \((1, +∞)\)

c) \(y = {2 \over {x - 3}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3, +∞)\)

Hướng dẫn giải

a)

+ Với mọi x₁; x₂ ∈  \((-∞; -1)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

f(x₂) – f(x₁) = x₂² + 2x₂ – 2 – (x₁² + 2x₁ – 2)

 = x₂² – x₁² + 2(x₂ – x₁) = (x₂ – x₁)(x₁ + x₂ + 2)

\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2\)

Vì x₁ < -1 và x₂ < -1 nên x₁ + x₂ + 2 < 0

Nên \( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Vậy hàm số y = x² + 2x – 2 nghịch biến trên \((-∞; -1)\)

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((-1, +∞)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2 > 0\)

( Vì x₁ > -1; x₂ > -1)

Vậy hàm số y =  x² + 2x – 2 đồng biến trên \((-1, +∞)\)

b)

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((-∞; 1)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

f(x₂) – f(x₁) = (-2x₂² + 4x₂ + 1) – (-2x₁² + 4x₁ + 1)

= -2(x₂² - x₁²) + 4(x₂ - x₁) = 2(x₂ - x₁)(2 – x₁ – x₂)

\( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = 2(2 - {x_1} - {x_2})\)

Vì x₁ < 1 và x₂ < 1 nên 2 - x₁ – x₂ > 0

Vậy hàm số y = -2x + 4x + 1 đồng biến trên khoảng \((-∞; 1)\)

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((1; +∞)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = 2(2 - {x_1} - {x_2}) < 0\)

(vì x₁ > 1 và x₂ > 1 )

Vậy hàm số số y = -2x + 4x + 1 nghịch biến trên khoảng \((1; +∞)\)

c)

+ Với x₁, x₂ ∈ \((- ∞; 3)\) với x₁ ≠ x₂ ta có:

 \(\eqalign{
& f({x_2}) - f({x_1}) = {2 \over {{x_2} - 3}} - {2 \over {{x_1} - 3}} \cr 
& = {{2({x_1} - 3) - 2({x_2} - 3)} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} = {{2({x_1} - {x_2})} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr 
& \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr} \)

(vì x₁ < 3; x₂ < 3 nên (x₁ – 3)(x₂ – 3) > 0)

\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}}<0\)

Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\)  nghịch biến trên \((- ∞; 3)\)

+ Với x₁, x₂ ∈ \((3; +∞)\) với x₁ ≠ x₂ ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} < 0\)

(vì x₁ > 3; x₂ > 3 nên (x₁ – 3)(x₂ – 3) > 0)

Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\) nghịch biến trên \((3; + ∞)\)