Giải bài 37 trang 126 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 2

Đề bài

   Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

   a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.

   d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.

Hướng dẫn giải

   a) Ta có \( \widehat{APB}= 90^0\) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

   \( \widehat{MON}= 90^0\) ( Hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành góc vuông)

   \(ON \perp BP\) ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

   \(\Rightarrow \widehat{N_1}= \widehat{B_1}\) ( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn).

   Xét

    \(\Delta MON \ và \ \Delta APB có:\\ \widehat{MON}=\widehat{APB}( = 90^0)\\ \widehat{N_1}= \widehat{B_1} \\\ Nên \ \Delta MON \ \approx \ \Delta APB (g.g)\)

   b) Xét tam giác vuông MON có OP là đường cao ứng với cạnh huyền nên:

   \(OP^2 =PM.PN\\ hay \ R^2 = MA.BN ( \ Vì \ MA = MP; NP = NB)\)

c) \(\Delta MON \approx \Delta APB \ \dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}=(\dfrac{MN}{AB})^2\)

  Vì

   \( AM = \dfrac{R}{2} \ và \ AM .BN = R^2 \ nên \ BN = R^2 : \dfrac{R}{2} = 2R\\ Do \ đó \ MN = MP + PN = \dfrac{R}{2}+ 2R = \dfrac{5}{2}R\\ Vậy \ \dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}= (\dfrac{\dfrac{5}{2}R}{2R}= \dfrac{25}{16}\)

   d) Khi nửa đường tròn APB quay quanh AB sinh ra một hình cầu có bán kính R.

  Thể tích hình cầu là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3.\)