Chuyên đề về hai tam giác đồng dạng và bài tập chứng minh có đáp án

Chuyên đề về hai tam giác đồng dạng và bài tập chứng minh có đáp án

Học phần tam giác đồng dạng là dạng lý thuyết liên quan đến chứng minh trong tam giác. Được đánh giá là một học phần khá quan trọng trong chương trình hình học bậc trung học cơ sở và đặc biệt là lớp 8, các bạn phải nắm chắc những kiến thức từ cơ bản đến chi tiết về tính đồng dạng của hai tam giác. Bài viết sau sẽ đưa ra cho bạn câu trả lời hợp lý!

I. Khái niệm hai tam giác đồng dạng là gì?

Đồng dạng là một khái niệm của hình học mà trong đó các hình có hình dạng và cấu trúc giống nhau nhưng khác nhau về kích thước. Nói một cách chính xác hai hay nhiều hình đồng dạng là kết quả của các phép biến hình hình học. 

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

\(\displaystyle \widehat{A’}=\widehat{A};\widehat{B’}=\widehat{B};\widehat{C’}=\widehat{C}\) và \(\displaystyle \dfrac{A’B’}{AB}=\dfrac{B’C’}{BC}=\dfrac{C’A’}{CA}\)

Ký hiệu tam giác đồng dạng: \(∆A’B’C’ ∼ ∆ABC\)

Tỷ số: \(\displaystyle \dfrac{A’B’}{AB}=\dfrac{B’C’}{BC}=\dfrac{C’A’}{CA}=k\) gọi là tỷ số đồng dạng.

Xem ngay: Tam giác đồng dạng

II. Chứng minh tam giác đồng dạng

1. Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường

Hai tam giác bất kì \({\displaystyle \bigtriangleup ABC}\) và \({\displaystyle \bigtriangleup A'B'C'}\) được gọi là đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

• Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c)

nếu ta có \( {\displaystyle {\dfrac {AB}{A'B'}}={\dfrac {BC}{B'C'}}={\dfrac {AC}{A'C'}}=k}\) với k là hệ số tỉ lệ.

• Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c)

nếu ta có \({\displaystyle {\dfrac {AB}{A'B'}}={\dfrac {BC}{B'C'}}=k}\) và có góc hợp bởi 2 cạnh kể trên tương ứng của 2 tam giác bằng nhau, ở đây là góc B và góc B'.

• Góc - Góc (g.g)

nếu ta có góc A=A' và dóc B=B' thì 2 tam giác đồng dạng, vì theo định lý tổng 3 góc trong tam giác thì hiển nhiên góc C=C'.

2. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Hai tam giác vuông được gọi là đồng dạng khi thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

• Góc nhọn

Nếu 2 tam giác vuông có 2 góc nhọn tương ứng bằng nhau thì chúng được gọi là đồng dạng với nhau vì đương nhiên trừ góc vuông ở cả hai tam giác vuông thì góc nhọn còn lại đương nhiên phải bằng nhau.

• Cạnh - cạnh

Nếu 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông này tương ứng tỉ lệ với 2 cạnh của tam giác vuông của tam giác vuông kia thì 2 tam giác vuông ấy đồng dạng với nhau, vì trong tam giác vuông góc xen giữa 2 cạnh ấy chính là góc vuông và chúng luôn bằng nhau.

• Cạnh huyền - cạnh góc vuông

Nếu một cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tương ứng tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì 2 tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Định lý này có thể chứng minh bằng định lý Py-ta-go.

3. Các tính chất của hai tam giác đồng dạng

• Đối xứng

\({\displaystyle \bigtriangleup ABC\backsim \bigtriangleup A'B'C'\Leftrightarrow \bigtriangleup A'B'C'\backsim \bigtriangleup ABC}\)

• Phản xạ

Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau, tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng, 2 tam giác đồng dạng với nhau chưa chắc bằng nhau. Tính chất này còn được phát biểu theo một cách khác là mọi tam giác đều đồng dạng với chính nó.

• Bắc cầu

\({\displaystyle \bigtriangleup ABC\backsim \bigtriangleup A'B'C'},{\displaystyle \bigtriangleup A'B'C'\backsim \bigtriangleup A''B''C''\Leftrightarrow \bigtriangleup ABC\backsim \bigtriangleup A''B''C''}\)

• Hai tam giác đồng dạng có độ dài 2 đường trung tuyến, phân giác, đường cao và chu vi tương ứng tỉ lệ với nhau và bằng tỉ số đồng dạng. Tỉ số diện tích của 2 tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Đường trung trực không liên quan đến tam giác đồng dạng.

4. Định lý của các tam giác đồng dạng

Định lý Ta-lét: Kẻ một đường thẳng song song với một cạnh bất kì của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo trực tiếp trên tam giác cũ một tam giác mới đồng dạng với một tam giác đã cho.

Hot: Tổng hợp các Mẹo Toán học hữu ích nhất

III. Bài tập tam giác đồng dạng lớp 8

Các phương pháp giải:

Phương pháp 1: Hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và các góc tương ứng tỉ lệ.

Phương pháp 2: Định lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

Phương pháp 3: Chứng minh các điều kiện cần và đủ để hai tam giác đồng dạng: Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau.

Phương pháp 4: Chứng minh trường hợp thứ nhất (cạnh-cạnh-cạnh): Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng.

Phương pháp 5: Chứng minh trường hợp thứ 2 (cạnh-góc-cạnh): Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng.

Có thể bạn quan tâm: 

• Nguyên hàm
• Giới hạn
• Bộ công thức đạo hàm chuẩn, đầy đủ nhất dành cho các bạn học sinh THPT

Bài 1: Chứng minh 2 tam giác đồng dạng. Cho ΔABC cân tại A; BC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB; AC sao cho \(\widehat{DME} =\widehat{B}\) .

a) Chứng minh rằng: ΔBDM ∽ ΔCME

b) Chứng minh: ΔMDE ∽ ΔDBM

c) Chứng minh: BD.CE không đổi?

Lời giải:

a) Ta có: \(\widehat{DBM} =\widehat{ECM}\) (1) và \(\widehat{DBM} =\widehat{DCM}\) (giả thiết)

Mà \(\widehat{DBM} +\widehat{BMD}+\widehat{MDB}= 180^{\circ}\\\widehat{DME} +\widehat{BMD}+\widehat{CME}= 180^{\circ}\) 

Suy ra \(\widehat{MDB} =\widehat{CME}\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra: ΔBDM ∽ ΔCME (g - g).

b) Vì ΔBDM ∽ ΔCME

nên \(\dfrac{BD}{CM}=\dfrac{DM}{ME} \)  và BM = CM (giả thiết)

Suy ra \(\dfrac{BD}{BM}=\dfrac{DM}{ME} \) Suy ra ΔMDE ∽ ΔDBM.

c) Vì ΔBDM ∽ ΔCME

Suy ra \(\dfrac{BD}{CM}=\dfrac{BM}{CE}\) Suy ra \(BD.CE = CM . BM\)

Mà \(CM = BM = \dfrac{BC}{2}= a\Rightarrow BD.CE=\dfrac{a^2} {4}\)  (không đổi)

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về 1 phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên By sao cho \(\widehat{COD}=90^{\circ}\) .

a) Chứng minh rằng: ΔACO ∽ ΔBDO.

b) Chứng minh rằng: CD = AC + BD.

c) Kẻ OM ┴ CD tại M, gọi N là giao điểm của AD với BC. Chứng minh rằng: MN // AC.

Lời giải:

a) Ta có: \(\widehat{AOC}=\widehat{ BOE}\) (1)

\(\widehat{BOE}+\widehat{ BOD}=90^{\circ}\)

Suy ra \(\widehat{BOE}=\widehat{ BDO}\) (2)

Xét ΔACO và ΔBDO, có:

\(\widehat{OAC}+\widehat{ DBO}=90^{\circ}\)(giả thiết) \(\widehat{BOE}=\widehat{ BDO}=90^{\circ}\) (theo (2))

Suy ra ΔACO ∽ ΔBDO (g - g)

b) Kẻ CO cắt DB tại E.

Ta có: ΔAOC = ΔBOE (g - c - g)

Suy ra OC = OE.

Xét ΔCOD và ΔEOD, có: OC = OE (chứng minh trên)

\(\widehat{COD}+\widehat{ EOD}=90^{\circ}\) với OD là cạnh chung.

Suy ra ΔCOD = ΔEOD (c - g - c). Suy ra CD = ED (cạnh tương ứng).

Ta có: AC = BE suy ra AC + BD = BE + BD = ED (Vì CD = ED)

Vậy: AC + BD = CD.

c) Ta có: ΔANC ∽ΔDNB.

Suy ra \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AC}{BD}\)mà \(\dfrac{AN}{ND}=\dfrac{BE}{BD}\) (vì AC = BE)

Vì CD = ED nên ΔCDE cân tại D. Suy ra OD là đường cao hạ từ đỉnh D.

Theo chứng minh ở câu b, ta có: OB = OM (2 đường cao tương ứng) CM = BE (hình chiếu ứng với các cạnh bằng nhau) MD = BD (hình chiếu ứng với các cạnh bằng nhau)

\(\dfrac{AN}{ND}=\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{CM}{MD}\Rightarrow \dfrac{AN}{ND}=\dfrac{CM}{MD}\).

Theo định lý Talet, ta có: MN // AC.

IV. Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng

Tam giác đồng dạng ứng dụng cho việc đo độ cao của một điểm hay một khoảng cách mà ta không tới được và vẽ hình đối đồng dạng. Hoặc dùng để chế tạo thước đo độ dày.

Với những kiến thức tổng hợp trên hy vọng rằng nó đã giúp bạn giải đáp phần nào những thắc mắc về tam giác đồng dạng. Để học tập thật tốt hãy đầu tư thời gian vào làm bài cũng như trau dồi các kiến thức này nhé. Chúng tôi tin chắc rằng chúng sẽ không làm khó được bạn. Chúc các bạn thành công!