Tổng hợp các dạng toán về chữ số tận cùng lớp 5 là các bài tập nâng cao, thích hợp dành cho các em học sinh khá giỏi ôn tập. Các thầy cô giáo cũng có thể lựa chọn các bài tập về tìm chữ số tận cùng lớp 5 để làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5, giúp các nắm được cách vận dụng các kiến thức đã được học vào làm bài tập cho chính xác và hiệu quả nhất. Mời các thầy cô cùng tham khảo tài liệu.

I. Dạng 1: Xác định số chẵn, số lẻ

*GHI NHỚ:

1- Tổng các số chẵn là một số chẵn. Tổng các số lẻ là: Số chẵn khi lượng số lẻ là số chẵn. Là số lẻ khi lượng số lẻ là số lẻ. Tổng số chẵn với số lẻ là số lẻ.

2- Hiệu của hai số lẻ là số chẵn. Hiệu của hai số chẵn là số chẵn. Hiệu SC – SL = SL.

3- Tích của các số lẻ là số lẻ. Tích có một thừa số là SC thì tích là SC.

*VÍ DỤ:

1) Tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ? (không cần tính tổng).

Giải: Từ 1 đến 1997 có 1997 số tự nhiên liên tiếp, trong đó các số lẻ gồm: 1; 3; 5; 7; …; 1997 và các số chẵn gồm có 2; 4; 6; 8; …; 1996.

Số lượng số lẻ là: (1997 – 1) : 2 + 1 = 999 ( số). Số lượng số chẵn là: (1996 – 2) : 2 + 1 = 998 ( số)

Ta có: Tổng của 999 số lẻ là số lẻ. Tổng của 998 số chẵn là số chẵn. Tổng của một số chẵn với một số lẻ là một số lẻ. Vậy tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số lẻ.

2) Không cần làm tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích:

a) 672 x 41 x 37 = 1 019 423

b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9161

Giải:

a) Kết quả là sai. Vì có một thừa số chẵn (672) nên tích phải là số chẵn mà 1 019 423 là số lẻ.

b) Kết quả sai. Vì có tổng các số chẵn là số chẵn mà 9 161 là số lẻ.

II. Dạng 2: Xác định một chữ số tận cùng

*GHI NHỚ:

1- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.

2- Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.

3- Tích một số chẵn với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 0.

- Tích một số lẻ với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 5.

- Tích các số tận cùng là 1 thì tận cùng là 1, tận cùng là 6 thì là 6.

- Tích a x a không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; hoặc 8.

*VÍ DỤ

1) Tìm các chữ số tận cùng của tích sau:

a) 1 x 3 x 5 x 7 x… x 57 x 59.

b) 2 x 12 x 22 x … x 82 x 92 .

c) 39 x 49 x 59 x … x 1 979 x 1 989.

Giải:

a) Trong phép nhân có chứ thừa số 5 nên tích là một số chia hết cho 5, do đó chữ số tận cùng của tích là 0 hoặc 5. Vì các thừa số là số lẻ nên tích là số lẻ. Vậy chữ số tận cùng của tích là 5.

b) Tích gồm các thừa số tận cùng là 2 nên tích có 10 thừa số và ta có:

2 x 12 x 22 x 32 x 42 x 52 x 62 x 72 x 82 x 92.

*…*6 x * … *6 x *…*4

… *6 x *…*4 = * … *4

Do tích của hai số tận cùng bằng 2 thì có tận cùng là 4; tích của bốn số tận cùng bằng 2 thì có tận cùng là 6; tích của số có tận cùng bằng 6 với số có tận cùng là 4 thì có tận cùng là 4, nên tích:

2 x 12 x 22 x … x 82 x 92 có chữ số tận cùng là 4.

c) Ta thấy: 49 – 39 = 10; 59 – 49 = 10; 1989 – 1979 = 10. Vậy qui luật dãy số cách nhau 10 đơn vị. Ta có tích gồm các thừa số có hàng đơn vị là 9 từ 39 đến 1989.

Số lượng thừa số của tích là: (1989 – 39) : 10 + 1 = 196 thừa số.

Do tích của hai số tận cùng bằng 9 thì có tận cùng là 1. 39 x 49 = 1911 nên ta tách các thừa số của tích thành nhóm mỗi nhóm có hai thừa số liền nhau rồi thay thế 2 thừa số bằng tích riêng của chúng ( có tận cùng là 1). Số nhóm có là: 196 : 2 = 98 (nhóm)

Tích có thể viết: *…*1 x *…*1 x *…*1 x … x *…*1 = *…*1

98 thừa số

Vì tích các số có tận cùng là 1, nên tích 39 x 49 x 59 x … x 1979 x 1989 có chữ số tận cùng là 1.

2) Hãy cho biết chữ số tận cùng của kết quả dãy tính sau:

a) 81 x 82 x 83 x 84 + 85 x 86 + 87 x 88 x 89 x 90 + 91 x 92 x 93

b) 81 x 63 x 45 x 27 – 37 x 29 x 51 x 12.

Giải:

a) Ta thấy : - Do 1 x 2 x 3 x 4 = 24 nên 81 x 82 x 83 x 84 có chữ số tận cùng là 4.

- Do 5 x 6 = 30 nên 85 x 86 có chữ số tận cùng là 0.

- Do 7 x 8 x 9 x 0 = 0 nên 87 x 88 x 89 x 90 có chữ số tận cùng là 0.

- Do 1 x 2 x 3 = 6 nên 91 x 92 x 93 có chữ số tận cùng là 6.

Vì 4 + 0 + 0 + 6 = 10 nên kết quả dãy tính có chữ có tận cùng là 0.

b) Ta thấy: - Do 1 x 3 x 5 x 7 = 105 nên 81 x 63 x 45 x 27 có số tận cùng là 5.

- Do 7 x 9 x 1 x 2 = 126 nên 37 x 29 x 51 x 12 có chữ số tận cùng là 6.

Vậy: 81 x 63 x 45 x 27 – 37 x 29 x 51 x 12 = *…*5 - *...*6 = *…*9. Dãy số có tận cùng là 9.

* CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

1- Không cần tính kết quả hãy kiểm tra kết quả của các phép tính sau đây đúng hay sai? Giải thích.

a) 9783 + 1789 + 8075 + 301 + 2779 = 22472.

b) 568 + 12540+ 6384 = 8191

c) 4624 x 123 = 568751’

d) ( 20 + 4 + 6 + … + 100 + 102) : 3 = 815

e) abc x abc – 853467 = 0

2- a) Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tích của chóng có thể là một số lẻ được không.

b) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chóng có thể là một số lẻ được không?

c) Số 2003 có thể là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nào?

3- Tổng của 2003 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là số chẵn hay lẻ? ( không cần tính tổng)

4- Có thể tìm số tự nhiên A và B sao cho (A + B) x ( A –B) = 2010 hay không?

5- An mua một số vở. An đưa cho bạn Bình và bạn Châu đếm lại. Bình đếm mỗi lần 6 quyển thì thừa 2 quyển, Châu đếm mỗi lần 4 quyển thì thừa 3 quyển. Em hãy chứng tỏ trong hai bạn Bình và Châu có ít nhất một bạn đếm sai?

6- Các tích sau tận cùng bằng chữ số nào:

a) 24 x 34 x 44 x … x 114 x 124.

b) 198 x 208 x 218 x … x 448 x 458.

c) 3 x 13 x 23 x … x 103.

d) 17 x 37 x 57 x 77 x … x 157 x 177.

7- Hãy cho biết chữ số tận cùng của kết quả dãy tính sau:

a) 11 x 22 x 33 x 44 + 55 + 66 x 77 x 88 x 99.

b) 32 x 44 x 75 x 69 – 21 x 49 x 65 x 55.

c) 1991 x 1992 x 1993 x 1994 x 1995 x 1996 x 1997 x 1988.

8- Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 255024 và 24024.

* Kiến thức cần nhớ:

- Chữ số tận cùng của 1 tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.

- Chữ số tận cùng của 1 tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.

- Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 9 có chữ số tận cùng bằng 5.

- Tích 1 x 3 x 5 x 7 x 9 có chữ số tận cùng bằng 5.

- Tích a ì a không thể có tận cùng bằng 2, 3, 7 hoặc 8.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1:

a) Nếu tổng của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tích của chúng có thể là 1 số lẻ được không?

b) Nếu tích của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tổng của chúng có thể là 1 số lẻ được không?

c) “Tổng” và “hiệu” hai số tự nhiên có thể là số chẵn, và số kia là lẻ được không?

Giải:

a) Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tổng đó gồm 1 số chẵn và 1 số lẻ, do đó tích của chúng phải là 1 số chẵn (Không thể là một số lẻ được).

b) Tích hai số tự nhiên là 1 số lẻ, như vậy tích đó gồm 2 thừa số đều là số lẻ, do đó tổng của chúng phải là 1 số chẵn(Không thể là một số lẻ được).

c) Lấy “Tổng” cộng với “hiệu” ta được 2 lần số lớn, tức là được 1 số chẵn. Vậy “tổng” và “hiệu” phải là 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ (Không thể 1 số là chẵn, số kia là lẻ được).

Bài 2: Không cần làm tính, kiểm tra kết quả của phép tính sau đây đúng hay sai?

a, 1783 + 9789 + 375 + 8001 + 2797 = 22744

b, 1872 + 786 + 3748 + 3718 = 10115.

c, 5674 x 163 = 610783

Giải:

a, Kết quả trên là sai vì tổng của 5 số lẻ là 1 số lẻ.

b, Kết quả trên là sai vì tổng của các số chẵn là 1 số chẵn.

c, Kết quả trên là sai vì tích của 1số chẵn với bất kỳ 1 số nào cũng là một số chẵn.

Bài 3: Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 24 024

Giải:

Ta thấy trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì không có thừa số nào có chữ số tận cùng là 0; 5 vì như thế tích sẽ tận cùng là chữ số 0 (trái với bài toán)

Do đó 4 số phải tìm chỉ có thể có chữ số tận cùng liên tiếp là 1, 2, 3, 4 và 6, 7, 8, 9

Ta có:

24 024 > 10 000 = 10 x 10 x 10 x 10

24 024 < 160 000 = 20 x 20 x 20 x 20

Nên tích của 4 số đó là :

11 x 12 x 13 x 14 hoặc 16 x 17 x 18 x 19

Có: 11 x 12 x 13 x 14 = 24 024

16 x 17 x 18 x 19 = 93 024.

Vậy 4 số phải tìm là : 11, 12, 13, 14.

Bài 4: Có thể tìm được 2 số tự nhiên sao cho hiệu của chúng nhân với 18 được 1989 không?

Giải:

Ta thấy số nào nhân với số chẵn tích cũng là 1 số chẵn. 18 là số chẵn mà 1989 là số lẻ.

Vì vậy không thể tìm được 2 số tự nhiên mà hiệu của chúng nhân với 18 được 1989.

Bài 5: Có thể tìm được 1 số tự nhiên nào đó nhân với chính nó rồi trừ đi 2 hay 3 hay 7, 8 lại được 1 số tròn chục hay không.

Giải:

Số trừ đi 2,3 hay 7,8 là số tròn chục thì phải có chữ số tận cùng là 2,3 hay 7 hoặc 8.

Mà các số tự nhiên nhân với chính nó có các chữ số tận cùng là 0 ,1, 4, 5, 6, 9.

Vì: 1 x 1 = 1 4 x 4 = 16 7 x 7 = 49

2 x 2 = 4 5 x 5 = 25 8 x 8 = 64

3 x3 = 9 6 x6 = 36 9 x 9 = 81

10 x10 = 100

Do vậy không thể tìm được số tự nhiên như thế .

Bài 6: Có số tự nhiên nào nhân với chính nó được kết quả là một số viết bởi 6 chữ số 1 không?

Giải:

Gọi số phải tìm là A (A > 0 )

Ta có: A x A = 111 111

Vì 1 + 1 +1 + 1+ 1+ 1+ = 6 chia hết cho 3 nên 111 111 chia hết cho 3.

Do vậy A chia hết cho 3, mà A chia hết cho 3 nên A ì A chia hết cho 9 nhưng 111 111 không chia hết cho 9.

Vậy không có số nào như thế .

Bài 7:

a, Số 1990 có thể là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp được không?

Giải :

Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 vì trong 3 số đó luôn có 1 số chia hết cho 3 nên 1990 không là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp vì :

1 + 9 + 9 + 0 = 19 không chia hết cho 3.

b, Số 1995 có thể là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp không?

3 số tự nhiên liên tiếp thì bao giờ cũng có 1 số chẵn vì vậy mà tích của chúng là 1 số chẵn mà 1995 là 1 số lẻ do vậy không phải là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.

c, Số 1993 có phải là tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp không?

Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì sẽ bằng 3 lần số ở giữa do đó số này phải chia hết cho 3.

Mà 1993 = 1 + 9 + 9 + 3 = 22 Không chia hết cho 3

Nên số 1993 không là tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp.

Bài 8 : Tính 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ............ x 48 x 49 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

Giải:

Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là :

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Hay 5 = 1 x 5 ; 10 = 2 x 5 ; 15 = 3 x 5; ........; 45 = 9 x 5.

Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục. mà tích trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0.

Bài 9: Bạn Toàn tính tổng các chẵn trong phạm vi từ 20 đến 98 được 2025. Không thực hiện tính tổng em cho biết Toàn tính đúng hay sai?

Giải :

Tổng các số chẵn là 1 số chẵn, kết quả toàn tính được 2025 là số lẻ do vậy toàn đã tính sai.

Bài 10: Tùng tính tổng của các số lẻ từ 21 đến 99 được 2025. Không tính tổng đó em cho biết Tùng tính đúng hay sai?

Giải:

Từ 1 đến 99 có 50 số lẻ

Mà từ 1 đến 19 có 10 số lẻ. Do vậy Tùng tính tổng của số lượng các số lẻ là: 50 – 10 = 40 (số)

Ta đã biết tổng của số lượng chẵn các số lẻ là 1 số chẵn mà 2025 là số lẻ nên Tùng đã tính sai.

Bài 11: Tích sau tận cùng bằng mấy chữ số 0?

20 x 21 x 22 x 23 x . . . x 28 x 29

Giải:

Tích trên có 1 số tròn chục là 20 nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0

Ta lại có 25 = 5 x 5 nên 2 thữa số 5 này khi nhân với 2 só chẵn cho tích tận cùng bằng 2 chữ số 0

Vậy tích trên tận cùng bằng 3 chữ số 0.

Bài 12: Tiến làm phép chia 1935 : 9 được thương là 216 và kghông còn dư. Không thực hiện cho biết Tiến làm đúng hay sai.

Giải:

Vì 1935 và 9 đều là số lẻ, thương giữa 2 số lẻ là 1 số lẻ. Thương Tiến tìm được là 216 là 1 số chẵn nên sai

Bài 13: Huệ tính tích:

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 = 3 999

Không tính tích em cho biết Huệ tính đúng hay sai?

Giải: Trong tích trên có 1 thữa số là 5 và 1 thừa số chẵn nên tích phải tận cùng bằng chữ số 0. Vì vậy Huệ đã tính sai.

Bài 14: Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0:

13 x 14 x 15 x . . . x 22

Giải:

Trong tích trên có thừa số 20 là số tròn chục nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0. Thừa số 15 khi nhân với 1 số chẵn cho 1 chữ số 0 nữa ở tích.

Vậy tích trên có 2 chữ số 0.

IV. Bài tập về nhà

Bài 1/ Không làm phép tính hãy cho biết kết quả của mỗi phép tính sau có tận cùng bằng chữ số nào?

a, (1 999 + 2 378 + 4 545 + 7 956) – (315 + 598 + 736 + 89)

b, 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x . . . x 99

c, 6 x 16 x 116 x 1 216 x 11 996

d, 31 x 41 x 51 x 61 x 71 x 81 x 91

e, 56 x 66 x 76 x 86 - 51 x 61 x 71 x 81

Gợi ý

a, (1 999 + 2 378 + 4 545 + 7 956) – (315 + 598 + 736 + 89)

=1 999 + 2 378 + 4 545 + 7 956 – 315 - 598 - 736 - 89

= ( 1999 - 89 ) + ( 2 378 - 598 ) + ( 4 545 - 315 ) + ( 7 956 - 736 )

= ......0 + ........0 + .........0 + .......0

= ........0 có chữ số tận cùng là 0

b, Vì 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x . . . x 99 là tích các thừa số lẻ

Mà trong tích đó có 1 thừa số là 5

=> Tích đó có chữ số tận cùng là 5

c, Vì 1 tích mà gồm các thừa số có chữ số tận cùng là 6 nhân với với luôn có chữ số tận cùng là 6

Như vậy :

6 x 16 x 116 x 1 216 x 11 996 có chữ số tận cùng là 6

d, Vì 1 tích mà gồm các thừa số có chữ số tận cùng là 1 nhân với nhau luôn ra 1 số có chữ số tận cùng là 1

Như vậy:

31 x 41 x 51 x 61 x 71 x 81 x 91 có chữ số tận cùng là 1

e.  Vì 1 tích gồm toàn các thừa số có chữ số tận cùng là 6 nhân với nhau luôn ra 1 số có chữ số tận cùng là 6

=> 56 x 66 x 76 x 86 có chữ số tân cùng là 6

Vì 1 tích gồm toàn các thừa số có chữu số tận cùng là 1 nhân với nhau luôn ra 1 số có chữ số tận cùng là 1

=> 51 x 61 x 71 x 81 có chữ số tận cùng là 1

Như vậy:

56 x 66 x 76 x 86 - 51 x 61 x 71 x 81

= ..........6 - ...........1

= ............5 có chữ số tận cùng là 5

Bài 2/ Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0

a, 1 x 2 x 3 x . . . x 99 x 100

b, 85 x 86 x 87 x . . . x 94

c, 11 x 12 x 13 x . . . x 62

Gợi ý

a.

1 × 2 × 3 × ... × 99 × 100

Ta có :

- Tích của 10 × 20 × 30 × 40 × 60 × 70 × 80 × 90 × 100 có 10 chữ số 0 ở tận cùng.

- Tích của 50 và một số chẵn (VD: 50 × 250 × 2) tận cùng bằng 2 chữ số 0.

- Tích của 25 × 4 có 2 chữ số 0 ở tận cùng .

- Tích của 75 × 36 có 2 chữ số 0 ở tận cùng.

- Mỗi số 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85; 95 (có 8 số) nhân với một số chẵn (ngoài những số đã lấy ở trên), cho 1 chữ số 0 tận cùng

- Ngoài ra, không còn có hai thừa số nào cho tích tận cùng bằng 0.

⇒ Tích đã cho có số chữ số 0 tận cùng là:

10 + 2 + 2 + 2 + (1 × 8) =24 (chữ số).

Vậy tích của 1 × 2 × 3 × 4 × ... × 99 × 100 có 24 chữ số 0 ở tận cùng.

c.  11 x 12 x 13 x . . . x 62

Ta có:

−- Hai thừa số tròn chục là: 20 và 60 (mỗi thừa số cho ta 1 chữ số 0 tận cùng ở tích)

−- Hai thừa số 15; 55 (mỗi thừa số này khi nhân với một số chẵn cho ta 1 chữ số 0 tận cùng ở tích)

⇒ Tích đã cho có số chữ số 0 tận cùng là:

1 × 2 + 1 × 2=4 (chữ số)

Vậy tích của 11 × 12 × ... × 20 × 53 × 54 × ... × 62 có 4 sữ số 0 ở tận cùng

Bài 3/ Không làm tính xét xem kết quả sau đúng hay sai? Giải thích tại sao?

a, 136 x 136 - 41 = 1960

b, ab x ab - 8557 = 0

Bài 4/ Có số nào chia cho 15 dư 8 và chia cho 18 dư 9 hay không?

Bài 5/ Cho số a = 1234567891011121314. . . được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp. Số a có tận cùng là chữ số nào? biết số a có 100 chữ số.

Bài 6/ Có thể tìm được số tự nhiên A và B sao cho:

(A + B) x (A – B) = 2002.