Toán lớp 11 tập 2 trang 81, 82

Toán lớp 11 tập 2 trang 74 →82 Chân trời sáng tạo là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 4 Khoảng cách trong không gian được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài trang 81, 82. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết Toán 11 tập 2 bài 4 Khoảng cách trong không gian Chân trời sáng tạo, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Toán lớp 11 tập 2 trang 81, 82

Bài 1

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo, $\widehat{ABC} = 60^{o}, SO\perp (ABCD), SO = a\sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD)

Gợi ý đáp án

Kẻ OI $\perp$ CD; OH $\perp$ SI

SO $\perp$ (ABCD) nên SO $\perp$ CD

Ta có: CD $\perp$ SO, CD $\perp$ OI nên CD $\perp$ (SOI) . Suy ra CD $\perp$ OH

Mà OH $\perp$ SI nên OH $\perp$ (SCD)

Ta có ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{ABC} = 60^{o} nên AC = a, OC = \frac{a}{2}, \widehat{ACD} = 60^{o}$

$OI = \frac{a}{2}.sin60^{o} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Tam giác SOI vuông tại O có đường cao OH: $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OI^{2}}+\frac{1}{SO^{2}} Suy ra OH = \frac{a\sqrt{51}}{17}$

$d(SO,(SCD)) = d(O,(SCD))= OH = \frac{a\sqrt{51}}{17}$

Bài 2

Cho hai tam giác cân ABC và ABD có đáy chung AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng AB ⊥ CD

b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD

Gợi ý đáp án

a) Gọi I là trung điểm AB.

Tam giác ABC cân tại C có I là trung điểm nên CI ⊥ AB

Tam giác ABD cân tại D có I là trung điểm nên DI ⊥ AB

Suy ra AB ⊥ (CID)

Nên AB ⊥ CD

b) Kẻ IH ⊥ CD

Mà AB ⊥ (CID) nên AB ⊥ IH

Vậy đoạn vuông góc chung giữa AB và CD là IH

Bài 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = $a\sqrt{2}$ . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh AB ⊥ (SIJ)

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Gợi ý đáp án

a) S.ABCD là hình chóp đều, O là tâm của đáy nên SO ⊥ (ABCD)

Nên SO ⊥ AB

Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên IJ ⊥ AB

Suy ra: AB ⊥ (SIJ)

b) Kẻ IH ⊥ SJ

Vì AB ⊥ (SIJ) nên AB ⊥ IH

Ta có: SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ CD. Mà CD ⊥ IJ nên CD ⊥ SIJ)

Suy ra: CD ⊥ IH. Mà IH ⊥ SJ nên IH ⊥ (SCD) và IH ⊥ CD

Ta có: SJ = $\sqrt{SC^{2}-CJ^{2}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$

SO = $\sqrt{SC^{2}-OC^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

$S_{SIJ} = \frac{1}{2}.IH.SJ=\frac{1}{2}.SO.IJ . Suy ra: IH=\frac{a\sqrt{42}}{7}$

$d(AB,SC) = IH = \frac{a\sqrt{42}}{7}$

Bài 4

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, góc giữa hai mrụặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 60^o.

a) Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ

b) Tính thể tích của khối lăng trụ

Gợi ý đáp án

a) Gọi M là trung điểm của BC. Tam giác ABC đều nên AM⊥BC

Mà BC ⊥ AA′ nên BC ⊥ (AA′M). Suy ra BC ⊥ A′M

Mặt khác (ABC) ∩ (A′BC) = BC

Nên ((ABC);(A'BC)) = $\widehat{A'MA} = 60^{o}$

Tam giác ABC đều cạnh a nên AM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$AA'=AM.tan60^{o} = \frac{3a}{2}$

b) $S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

$V_{ABC.A'B'C'} = \frac{3a}{2}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^{3}\sqrt{3}}{8}$

Bài 5

Một cây cầu dành cho người đi bộ (Hình 22) có mặt sàn cầu cách mặt đường 3,5 m, khoảng cách từ đường thẳng a nằm trên tay vịn của cầu đến mặt sàn cầu là 0,8 m. Gọi b là đường thẳng kẻ theo tim đường. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b

Gợi ý đáp án

d(a,b) = 3,5 + 0,8 = 4,3

Bài 6

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a và đáy ABCD là hình thoi có AB = a và AC = $a\sqrt{3}$

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AA'

b) Tính thể tích của khối hộp

Gợi ý đáp án

a) Hình thoi ABCD có AB = BC = a

Mà AC = $a\sqrt{3}$ . Nên $\widehat{ABC} = 120^{o}$ . Suy ra $\widehat{ABD} = 60^{o}$

Do đó, AD = a

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do ABCD là hình thoi nên AO $\perp$ BD; AO = $\frac{a}{2}$

Vì AA' $\perp$ (ABCD) nên $AA' \perp AO$

$d(BD,AA') = AO = \frac{a}{2}$

b) $S_{ABCD} = \frac{1}{2}.AC.BD = \frac{1}{2}.a\sqrt{3}.a = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

$V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = a^{3}\sqrt{3}$

Bài 7

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và có O là giao điểm hai đường chéo của đáy.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

b) Tính thể tích của khối chóp

Bài 8

Tính thể tích của khối chóp cụt lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' với O và O' là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là a và $\frac{a}{2}$ , OO' = a