Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10.

Cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, ví dụ minh họa, các dạng bài tập tự luyện kèm theo. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về phương trình nghiệm nguyên. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

I. Cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên
II. Ví dụ tìm m để phương trình có nghiệm nguyên
III. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.
IV. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

I. Cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

1. Các kiến thức liên quan:

Tính chất chia hết của số nguyên.
Tính chất của số chính phương.
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có 2 nghiệm x₁; x₂ thì :

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

2. Các phương pháp giải phương trình bậc 2 với nghiệm nguyên:

- Phương pháp đánh giá

+Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 để chặn khoảng giá trị của biến.

+Đưa về tổng các bình phương để đánh giá

- Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương.

- Đổi vai trò của ẩn

- Đưa về phương trình ước số.

- Tham số hóa để đưa về phương trình ước số.

- Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên.

- Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét.

II. Ví dụ tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Cho phương trình ${x^2} - 2mx + m - 4 = 0$ (m là tham số). Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có 2 cách làm bài toán được trình bày như sau:

Cách 1:

Ta có:

$\Delta ' = {m^2} - \left( {m - 4} \right) = {m^2} - m + 4A$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì ∆’ phải là số chính phương

Do đó ta có:

$\begin{matrix} {m^2} - m + 4 = {k^2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \Rightarrow 4{m^2} - 4m + 16 = 4{k^2} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4{k^2} = - 15 \hfill \\ \Rightarrow \left( {2m - 1 - 2k} \right)\left( {2m - 1 + 2k} \right) = - 15 \hfill \\ \end{matrix}$

Do k² luôn lớn hơn 0 nên không ảnh hưởng tới giá trị cần tìm của m ta giả sử k ≥ 0 ta có:

(2m – 1 + 2k) ≥ (2m – 1 – 2k)

Do đó ta có các trường hợp như sau:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 1} \\ {2m - 1 + 2k = 15} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 4} \\ {k = 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 3} \\ {2m - 1 + 2k = 55} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1} \\ {k = 2} \end{array}} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 5} \\ {2m - 1 + 2k = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \\ {k = 2} \end{array}} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 15} \\ {2m - 1 + 2k = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 3} \\ {k = 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Thử kiểm tra lại kết quả, thay các giá trị m = -3, m = 0, m = 4 vào phương trình ta thấy đều thỏa mãn điều kiện bài toán

Cách 2: Sử dụng hệ thức Vi – et

Gọi x_1,, x₂ (x₁ < x₂) là hai nghiệm nguyên của phương trình ta có:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m} \\ {{x_1}{x_2} = m - 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} = 8 \hfill \\ \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4{x_1}{x_2} - 1 = 15 \hfill \\ \Rightarrow \left( {2{x_1} - 1} \right)\left( {2{x_2} - 1} \right) = - 15 \hfill \\ \end{matrix}$

Trường hợp 1: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 1} \\ {2{x_2} - 1 = 15} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 0} \\ {{x_2} = 8} \end{array} \Rightarrow m = 4} \right.$

Trường hợp 2: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 5} \\ {2{x_2} - 1 = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 2} \\ {{x_2} = 2} \end{array} \Rightarrow m = 0} \right.$

Trường hợp 3: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 15} \\ {2{x_2} - 1 = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 7} \\ {{x_2} = 1} \end{array} \Rightarrow m = - 3} \right.$

Trường hợp 4: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 3} \\ {2{x_2} - 1 = 5} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \\ {{x_2} = 3} \end{array} \Rightarrow m = 1} \right.$

Thử lại kết quả với m = 0, m = 3, m = -3, m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: Tìm các số nguyên m để phương trình ${x^2} - \left( {4 + m} \right)x + 2m = 0$ có các nghiệm là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{matrix} {m^2} + 16 = {k^2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \Rightarrow {m^2} - {k^2} = - 16 \hfill \\ \Rightarrow \left( {m + k} \right)\left( {m - k} \right) = - 16 \hfill \\ \end{matrix}$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì ∆ phải là số chính phương. Khi đó ta có:

Ta thấy (m + k) – (m – k) = 2k

=> (m + k) và (m – k) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Do tích là 16 nên là cùng chẵn

Mặt khác m + k ≥ m – k do đó ta có bảng số liệu như sau:

m + k	8	4	2
m – k	--2	-4	-8
m	3	0	-3

Kiểm tra lại kết quả ta thấy m = -3, m = 0, m = 3 đều thỏa mãn điều kiện phương trình.

Vậy m = -3, m = 0, m = 3 là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 3:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x + 13y = 156 (1).

Hướng dẫn giải

- Phương pháp 1: Ta có 13y:13 và 156:13 nên $2x\vdots13 \Rightarrow x\vdots13$ ( vì (2,3)=1).

Đặt x=13 k( $k \in Z$ ) thay vào (1) ta được: y=-2 k+12

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=13 k \\ y=-2 k+12\end{array}(k \in Z)\right..$

- Phương pháp 2: Từ (1) $\Rightarrow x=\frac{156-13 y}{2}=78-\frac{13 y}{2},$

Để $x \in Z \Rightarrow \frac{13 y}{2} \in Z Mà (13,2)=1 \Rightarrow y \vdots 2 Đặt y=2 t(t \in Z) \Rightarrow x=78-13 t$

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=78-13 t \\ y=-2 t\end{array} \quad(t \in Z)\right..$

Chú ý: Phương trình có dang ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.

III. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:

Phương pháp dùng tính chất chia hết
Phương pháp xét số dư từng vế
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn

IV. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị nguyên của a sao cho với các giá trị đó phương trình : $x^{2}+a x+a=0$ có nghiệm nguyên .

Bài 2: Cho phương trình :

$(\mathrm{m}-1) \mathrm{x}^{2}-(2 \mathrm{~m}+1) \mathrm{x}+\mathrm{m}^{2}-2 \mathrm{~m}+4=0$

Tìm tất cả các giá trị nguyên của m đề phương trình có các nghiệm đều là số nguyên .

Bài 3 : Tìm tất cả các số nguyên a để phương trình:

$\mathrm{x}^{2}-(3+2 \mathrm{a}) \mathrm{x}+40-\mathrm{a}=0$

Bài 4: Tìm x, y nguyên thỏa mãn:

$7 x^{2}+13 y^{2}=1820$

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

$2 x^{6}-2 x^{3} y+y^{2}=64$

Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau:

$a) 2 x y-4 x-y=1$

$b) 2 x y-x-y+1=0$

$c) 6 x^{2}+7 y^{2}=229$

$d) 8 x^{2}-5 y^{2}+10 x+4=0$

Bài 7 : Tìm các số hữu tỉ x để $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+6$ là số chính phương.

Bài tập 8: Cho phương trình $b\left( {b + 3} \right){x^2} - 2x - \left( {b + 1} \right)\left( {b + 2} \right) = 0$ (b là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm hữu tỉ

b) Xác định tham số b để phương trình có các nghiệm đều nguyên.

Bài tập 9: Cho phương trình ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 3m + 1 = 0$ (m là tham số). Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.