Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Tìm m để bất phương trình có nghiệm là tài liệu vô cùng hữu ích không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 10 tham khảo. Tìm m để bất phương trình có nghiệm sẽ được học trong chương trình Toán 10 học kì 2 áp dụng đối với cả 3 bộ sách giáo khoa.

Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm tổng hợp kiến thức lý thuyết, ví dụ minh họa kèm theo 9 bài tập có đáp án giải chi tiết và 21 bài tập tự luyện. Qua bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm giúp các bạn học sinh lớp 10 củng cố kiến thức cơ bản biết vận dụng vào giải các bài toán tìm m để bất phương trình có nghiệm. Ngoài ra các bạn xem thêm tài liệu tìm m để phương trình vô nghiệm, công thức tính độ dài trung tuyến.

Tìm m để bất phương trình có nghiệm

1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm
2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm
3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm
4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$ . Nghĩa là
f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$ . Nghĩa là
f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$ . Nghĩa là
f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$ . Nghĩa là

2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m - 1)x² + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ .

Hướng dẫn giải

Đặt (m - 1)x² + 2mx - 3 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒ $x > \frac{3}{2}$ (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {4{m^2} + 12m - 12 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)} \end{array} \Leftrightarrow m \in \emptyset } \right.} \right.$

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ .

Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ .

a. (m - 3)x² + (m + 1)x + 2 < 0

b. (m - 1)x² + (m - 3)x + 4 > 0

Hướng dẫn giải

a. Đặt (m - 3)x² + (m + 1)x + 2 = f(x)

TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)

TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 3 < 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0} \end{array}} \right.$

Ta có: m² - 6m + 25 = (m - 3)² + 16 ≥ 16,∀m

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$

b. Đặt (m - 1)x² + (m - 3)x + 4 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)} \end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)$

Vậy $m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)$ thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ .

3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x² - 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

Hướng dẫn giải:

Đặt x² - 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn ${{x}_{1}}\le 1<2\le {{x}_{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} kf(0)\le 0 \\ kf(1)\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}+2m\le 0 \\ {{m}^{2}}-1\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow -1\le m\le 0 \right.$

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x² - 2mx + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

$\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0\Leftrightarrow \left| m \right|>\sqrt{2}\Leftrightarrow$

Vậy với |m| < $\sqrt{2}$ thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m²x + 3 < mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m²x - mx < 4 ⇔ (m² - m)x < 1; m² - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với m² - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành luôn có nghiệm là

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m² + 1)x² + (2m - 1)x - 5 < 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}f(-1)\le 0 \\f(1)\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\{{m}^{2}}+2m-5\le 0 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-1\le m\le 3 \\-\sqrt{6}\le m\le \sqrt{6}-1 \\\end{matrix} \right. \right.$

⇔ -1 ≤ m ≤ $\sqrt 6$ - 1

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; $\sqrt{6}$ - 1)

Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x² - 2mx + 2m - 6 < 0

Hướng dẫn giải:

+ Với m = - 4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0, ∀x (loại)

+ Với

$\Rightarrow\left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\ \end{matrix}\left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\ \end{matrix}\right. \right.$ $\Leftrightarrow m<-4$

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.

Bài 6: Cho bất phương trình: x² + 4x + 3 + m ≤ 0

a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.

c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Hướng dẫn giải

a. Bất phương trình vô nghiệm

⇔ Δ' < 0 ⇔ 1 - m < 0 ⇔ m > 1

Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm.

b. Bất phương trình có đúng một nghiệm.

⇔ Δ' = 0 ⇔ 1 - m = 0 ⇔ m = 1

Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm

c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện:

$\begin{align} & \left| x-x' \right|=2 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta '>0 \\ \left| \dfrac{\sqrt{\Delta }}{a} \right|=2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1-m>0 \\ \sqrt{1-m}=2 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow m=-3 \right. \\ \end{align}$

Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x⁴ + 2mx² + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.

Hướng dẫn giải

Đặt t = x², t ≥ 0

Khi đó bất phương trình trở thành:

f(t) = t² +2mt + m ≥ 0 (*)

⇒Δ' = m² - m

Trường hợp 1: Δ' ≤ 0 ⇔ m² - m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1

Khi đó (*) luôn đúng.

Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t₁ < t₂ ≤ 0

Tóm lại ta cần suy ra như sau:

$\left\{ \begin{matrix} \Delta '>0 \\ a.f(0)\ge 0 \\ \dfrac{S}{2}<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-m>0 \\ m\ge 0 \\ -m<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>1$

Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.

Bài 8: Tìm m để bất phương trình $(m + 4){x^2} - 2mx + 2m - 6 < 0$ có nghiệm đúng với mọi x

Hướng dẫn giải

Với m = -4 thì bất phương trình trở thành: $8x - 14 < 0,\forall x$ (loại)

Với $m \ne - 4$ thì $f(x) < 0,\forall x$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta ' < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < - 4} \\ {{m^2} - (m + 4)(2m - 6) < 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < - 4} \\ {m \in ( - \infty , - 4) \cup (6, + \infty )} \end{array} \Leftrightarrow m < - 4} \right.} \right.$

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4

Bài 9: Tìm m để bất phương trình $(m + 2){x^2} - 2mx + {m^2} + 2m \leqslant 0$ có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

TH1: Với $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ ta được:

(1) $\Leftrightarrow 4x + 4 < 0 \Leftrightarrow x < - 1$

Bất phương trình vô nghiệm

TH2: Với $m < - 2$

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

TH3: $m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2$ . Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt:

$\Leftrightarrow \Delta > \Leftrightarrow {m^2} - 2 > \Leftrightarrow \left| m \right| > \sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > \sqrt 2 } \\ { - 2 < m < - \sqrt 2 } \end{array}} \right.$

Vậy với $\left| m \right| < \sqrt 2$ thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 9 Tìm m để bất phương trình ${m^2}x + 3 < mx + 4$ có nghiệm

Gợi ý đáp án

Bất phương trình tương đương với:

${m^2}x - mx < 4 - 3 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - m} \right)x < 1$

Với ${m^2} - m = 0 \Leftrightarrow m = \{ 0;1\}$ thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với ${m^2} - m = 0 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \{ 0;1\}$ thì bất phương trình trở thành $x < \frac{1}{{{m^2} - m}}$ luôn có nghiệm là $x < \frac{1}{{{m^2} - m}}$

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m

4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Cho tam thức f(x) = x² - 2mx + 3m - 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] .

Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx² - 4x + 3m + 1 >0

Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x² - 2x + 1 - m² ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [1; 2].

Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m - 1)x² + (2 - m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2).

Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m - 2)x² + 2(m + 1)x + m - 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 3).

Bài 6: Tìm m để bất phương trình m² - 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5).

Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x² + (m - 1)x - m ≤ 0

đều là nghiệm của bất phương trình.

Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m - 2)x² + 2mx - 2 - m < 0 có nghiệm

Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình f(x) = - (m² + 2)x² - 2mx + 1 - m > 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞)

Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx² - (1 - 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0)_.

Bài 11: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:

a. 5x² - x + m > 0

b. mx² - 10x - 5 < 0

c. m(m+2)x² - 2mx + 2 > 0

d. (m + 1)x² - 2(m - 1)x + 3m - 3 < 0

Bài 12: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ : (m - 5)x² - 2x + m + 1 > 0

Bài 13: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x

a. ${x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 4 > 0$	b. ${x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2m + 7 > 0$
c. $m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 < 0$	d. $\left( {m + 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 4 > 0$