Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 môn Toán.

Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách giải kèm theo một số ví dụ minh họa và bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1.

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

I. Kiến thức cần nhớ

* Cách làm bài toán như sau:

+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂ (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m

+ Một số bất đẳng thức thường dùng:

- Với mọi $A \ge 0:{A^2} \ge 0;\sqrt A \ge 0$

- Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si): với a, b là các số dương ta có: $a + b \ge 2\sqrt {ab}$

II. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình bậc hai x² + 2 (m+1) x + m² - m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}$

Lời giải:

Ta có:

∆' = b'² - ac = (m + 1)² - (m² - m + 1) = m² - 2m + 1 - m² + m - 1 = -m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0

Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1\end{array} \right.$

Có $A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2}$

A = [-2 (m + 1)]² - (m² - m + 1)

A = 4 (m + 1)² - m² + m - 1

A = 4m² + 8m + 4 - m² + m - 1

A = 3m² + 9m + 3

A = (m² + 3m + 1)

Có ${m^2} + 3m + 1 = {m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1 = {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4}$

${\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m < 0 \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge \frac{{ - 5}}{4}\forall m < 0$

$\Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{5}{4}} \right] \ge \frac{{ - 15}}{4}\forall m < 0$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow m + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\left( {tm} \right)$

Vậy min $A = \frac{{ - 15}}{4} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}$

Ví dụ 2: Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0$ (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức $B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}$ đạt giá trị lớn nhất

Lời giải:

Ta có $\Delta ' = {b^{'2}} - ac = {\left( {m + 4} \right)^2} - \left( {{m^2} - 8} \right) = {m^2} + 8m + 16 - {m^2} + 8 = 8m + 24$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 8m + 24 > 0 \Leftrightarrow m > - 3$

Vậy với m > - 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 4} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 8\end{array} \right.$

Có B = x₁ + x₂ - 3x₁x₂ = 2 (m + 4) - 3 (m² - 8)

$= - 3{m^2} + 2m + 32 = - 3\left( {{m^2} + 2.\frac{1}{3}.m + \frac{1}{9}} \right) + \frac{{97}}{3} = - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3}$

${\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\forall m > - 3 \Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \le 0\forall m > - 3$

$\Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3} \le \frac{{97}}{3}\forall m > - 3$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow m + \frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}$

Vậy max $B = \frac{{97}}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{3}$

Ví dụ 3: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x² - 2 (m + 1)x + m - 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = |x₁ - x₂|

Có ∆' = (m + 1)² - (m - 4) = m² + 2m + 1 + m + 4 = m² + 3m + 5

$= \left( {{m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4}} \right) + \frac{{11}}{4} = {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0\forall m$

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 4\end{array} \right.$

Có $M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow {M^2} = {\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}$

M2 = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = [2(m + 1)]² - 4 (m - 4)

= 4(m² + 2m + 1) - 4m + 16

= 4m² + 8m + 4 - 4m + 16

= 4m² + 4m + 20 = 4 (m² + m + 5)

Có ${m^2} + m + 5 = \left( {{m^2} + 2.\frac{1}{2}.m + \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{4} + 5 = {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4}$

$\begin{array}{l} {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} \ge \frac{{19}}{4}\forall m\\ \Leftrightarrow 4\left[ {{{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{{19}}{4}} \right] \ge 19\forall m \end{array}$

$M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow M \ge \sqrt {19}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}$

Vậy min $M = \sqrt {19} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}$

III. Một số bài tập tự luyện

Bài 1: Cho phương trình x² - 2(m + 4)x + m² - 8 = 0 (m tham số)

a, Tìm m để biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1} - {x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

b, Tìm m để biểu thức $C = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}$ đạt giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho phương trình x² + mx - m - 2 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Cho phương trình x² - 2 (m + 2)x + 6m + 3 = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để biểu thức $A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2$ có giá trị nhỏ nhất