Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số chi tiết nhất

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là một trong những kiến thức quan trọng mà các em lớp 11, lớp 12 cần ghi nhớ để vận dụng tính toán nhanh nhất các bài toán tính tiệm cận đứng và cho ra kết quả chính xác.

Tài liệu tổng hợp kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng, cách tìm, dấu hiệu nhận biết và một số bài tập kèm theo. Hi vọng đây là tài liệu cực kì hữu ích giúp các bạn dễ dàng ghi nhớ kiến thức. Bên cạnh cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số các bạn xem thêm bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

1. Tiệm cận đứng

Cho hàm số y=f(x) xác định trên K\{α}. Nếu giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến “bên trái” hoặc x tiến đến “bên phải” điểm α bằng vô cực (âm vô cực hoặc dương vô cực). Thì đồ thị hàm số y=f(x) có đường tιệm cận đứng là x=α.

Theo cách hiểu như vậy các em cần lưu ý để x có thể tiến đến α thì f(x) phải xác định trên lân cận trái (hoặc phải) của điểm α.

Chẳng hạn như f(x) có tập xác định là (1;3) và không xác định tại x=5 thì x không thể tiến tới giá trị 5 được. Vì vậy cũng không thể có tιệm cận đứng x=5.

Ví dụ:

- Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có tập xác định D.

- Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \pm \infty$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = \pm \infty$ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. Cách tìm tiệm cận đứng

Cách 1

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{u}{v}$ có tập xác định D

Bước 1. Muốn xác định đồ thị hàm số có tiệm cận hay không ta tìm nghiệm của phương trình v = 0. Ví dụ x = a là nghiệm của phương trình.

Bước 2. Xét x = a có là nghiệm của tử thức u:

+ Nếu x = a là không nghiệm của u = 0 thì x = a là một tiệm cận đứng.

+ Nếu x = a là nghiệm của u = 0 thì phân tích đa thức thành nhân tử:

$y = \frac{u}{v} = \frac{{{{\left( {x - a} \right)}^m}.h\left( x \right)}}{{{{\left( {x - a} \right)}^n}.g\left( x \right)}}$ . Rút gọn x – a:

Nếu còn nhân tử x – a dưới mẫu thì x = a là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Nếu không còn nhân tử x – a trên tử hay ca tử và mẫu thì x – a không là tiệm cận đứng của đồ thị.

- Công thức tính tiệm cận của hàm phân thức $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},\left( {ad - bc \ne 0;c \ne 0} \right)$

$\Rightarrow x = - \frac{d}{c}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Cách 2

Tìm tiệm đứng bao gồm các bước sau:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tìm những điểm mà hàm số không xác định nhưng có lân cận trái hoặc lân cận phải của điểm đó nằm trong tập xác định.
Bước 3. Tính các giới hạn một bên của hàm số tại các điểm ở bước 2 và kết luận theo định nghĩa nêu trên.

3. Dấu hiệu nhận biết tiệm cận đứng

- Hàm phân thức khi nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.

4. Bài tập tiệm cận đứng

Câu 1: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} - 4x + 3}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 1 và x = 3.

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = 3.

Gợi ý đáp án

Tập xác định của hàm số:

$\begin{matrix} D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;3} \right\} \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty } \\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = - \infty \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right. \Rightarrow TCD:x = 1;x = 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Chú ý: Chỉ cần tính giới hạn một bên trái hoặc phải

→ Đáp án B

Bài tập 2: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$ .

Gợi ý đáp án

Tập xác định của hàm số:

$\begin{matrix} D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} } \right) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} = + \infty \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy đồ thị có một tiệm cận đứng là x = 1

Bài tập 3: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}}$ có đúng một tiệm cận đứng.

A. $m \in \left\{ { - 1; - 4} \right\}$	B. $m = - 1$
C. $m = - 4$	D. $m \in \left\{ {1;4} \right\}$

Gợi ý đáp án

Ta có:

$y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{{x^2} + m}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

Để đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{1^2} + m = 0} \\ {{2^2} + m = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1 = 0} \\ {m + 4 = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 1} \\ {m = - 4} \end{array}} \right.} \right.} \right.$