Tích vô hướng của hai vectơ: Lý thuyết & bài tập

Tích vô hướng của hai vectơ là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 10 tham khảo.

Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ như: định nghĩa, các tính chất cơ bản, biểu thức tọa độ, ứng dụng và bài tập minh họa kèm theo. Hy vọng qua tài liệu này giúp các bạn có thêm nhiều tư liệu tham khảo, củng cố kiến thức để học tốt Toán 10.

Lý thuyết tích vô hướng của hai vectơ

A. Khái niệm

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vectơ $\vec{0}$ . Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số được ký hiệu là $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , được xác định bởi công thức sau :

$\vec{a} .\vec{b} = |\vec{a}|.|\vec{b}|\cos(\vec{a}, \vec{b})$

B. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ bất kì và mọi số k ta có :

$\vec{a} .\vec{b} = \vec{b}.\vec{a}$ (tính chất giao hoán)

$\vec{a}.( \vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}. \vec{b} + \vec{a}. \vec{c}$ ( tính chất phân phối)

$(k.\vec{a}).\vec{b} = k(\vec{a}, \vec{b}) = \vec{a}.(k\vec{b})$

C. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ $(0; \vec{i}; \vec{j}),$ cho hai vec tơ $\overrightarrow a =({a_1};{a_2}), \overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$ . Khi đó tích vô hướng $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$

Nhận xét: Hai vectơ $\overrightarrow a =({a_1};{a_2}), \overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$ khác vectơ $\vec{0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$

D. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ $\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$ được tính theo công thức:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2}+ {a_{2}}^{2}}$

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu $\overrightarrow a =({a_1};{a_2}), \overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$ khác vectơ $\vec{0}$ thì ta có:

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|} = \frac{{a_{1}.b_{1}+ a_{2}.b_{2}}}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}.\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}$

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm $A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B})$ được tính theo công thức :

$AB = \sqrt{({x_{B}-x _{A}})^{2}+({y_{B}-y_{A})}^{2}}$

Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

1. Cho hai vectơ' a và \overline{\mathrm{b}}. Chúng minh rằng:

$\text { a } \cdot \overline{\mathrm{b}}=\frac{1}{2}\left(|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{a}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(|\overrightarrow{\mathrm{a}}|^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}\right)=\frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}\right)$

2.Cho hai vectơ $\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}$ có $|\overline{\mathrm{a}}|=5,|\overline{\mathrm{b}}|=12$ và $|\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}|=13$ .Tính tích vô hướng $\overline{\mathrm{a}} \cdot(\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}})$

và suy ra góc giữa hai vectơ a và $\mathrm{a}+\mathrm{b}$

3. Cho tam giác đều ABC canh a. Goi H là trung điểm BC,tính

$a) \overline{\mathrm{AH}}, \overline{\mathrm{BC}}$

$b) \mathrm{AB}. AC$

$c) \mathrm{AC} . \mathrm{CB}$

4. Cho hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.Tính:

$a) \mathrm{AB}. \mathrm{AC}$

b) OA .AC

c) AC. CB

5. Tam giác $\mathrm{ABC} có \mathrm{AC}=9, \mathrm{BC}=5, \mathrm{C}=90^{\circ}$ , tính AB.AC

6. Tam giác ABC có AB =5, AC =4, $\mathrm{~A}=120^{\circ}$

a)tính $\begin{array}{ll}\overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{BC}} & \text { b) Goi } \mathrm{M} \text { là trung điểm } \mathrm{AC} \text { tính } \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{MA}}\end{array}$