Phương trình quy về phương trình bậc hai

Phương trình quy về phương trình bậc hai là tài liệu luyện thi không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 9 chuẩn bị thi học kì 2 và thi vào 10 tham khảo. Tài liệu tóm tắt toàn bộ kiến thức lý thuyết, các dạng bài tập kèm theo đáp án về phương trình bậc 2.

Tài liệu Phương trình quy về phương trình bậc hai được biên soạn khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản. Ngoài ra các bạn học sinh tham khảo thêm tài liệu: Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9.

I. Tóm tắt lý thuyết
II. Bài tập và các dạng toán
III. Bài tập về nhà
IV. Hướng dẫn đáp án

I. Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình trùng phương

- Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax⁴+ bx² + c - 0 (a ≠ 0).

- Cách giải: Đặt ẩn phụ t = x2 (t > 0) để đưa phương trình vẽ phương trình bậc hai: at² + bt + c = 0 (a ≠0).

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở Bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.

3. Phương trình đưa về dạng tích

Để giải phương trình đưa vể dạng tích, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.

Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

4. Một số dạng khác của phương trình thường gặp

- Phương trình bậc bốn dạng $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m$ với $a+b=c+d$

- Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng: $a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+b x+a=0(a \neq 0)$

- Phương trình hồi quy có dạng $a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e=0(a \neq 0)$ trong $d \delta \frac{e}{a}=\left(\frac{d}{b}\right)^{2}$

- Phương trình bậc bốn dạng $(x+a)^{4}+(x+b)^{4}=c$

- Phương trình phân thức hữu tỉ. Trong phần này chúng ta xét một số dạng sau:

$\cdot \frac{m x}{a x^{2}+b x+d}+\frac{n x}{a x^{2}+c x+d}=p$

$\cdot \frac{a x^{2}+m x+c}{a x^{2}+n x+c}+\frac{a x^{2}+p x+c}{a x^{2}+q x+c}=d$

$\cdot \frac{a x^{2}+m x+c}{a x^{2}+n x+c}+\frac{p x}{a x^{2}+q x+c}=d$

II. Bài tập và các dạng toán

Phương pháp giải: Xét phương trình trùng phương:

ax⁴+ bx² + c = 0 (a ≠ 0).

Bước 1. Đặt t = x² (t ≥ 0) ta được phương trình bậc hai: at² + bt + c = 0 (a ≠ 0)

Bước 2. Giải phương trình bậc hai ẩn t từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình trùng phương đã cho.

1.1. Giải các phương trình sau:

a) x⁴ + 5x² - 6 = 0;

b) ( x + 1)⁴ - 5(x + 1)² -84 = 0.

1.2. Giải các phương trình sau:

a) 2x⁴ + 7x² + 5 = 0;

b) 4x⁴ + 8x² - 12 = 0;

Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Phương pháp giải: Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình bậc hai nhận được ở Bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.

2.1. Giải các phương trình sau:

$a) \frac{2 x-5}{x-1}=\frac{3 x}{x-2}$

$b) \frac{x+5}{3}-\frac{x-3}{5}=\frac{5}{x-3}-\frac{3}{x+5}$

$c) \left(\frac{1+x}{1-x}-\frac{1-x}{1+x}\right):\left(\frac{1+x}{1-x}-1\right)=\frac{3}{14-x}$

2.2. Giải các phương trình sau:

$a) \frac{2 x-1}{x+1}+\frac{3 x-1}{x+5}=\frac{x-7}{x-1}+3$

$b) \frac{x^{2}-3 x+5}{x^{2}-x-6}=\frac{1}{x-3}$

Dạng 3. Phương trình đưa về dạng tích

Phương pháp giải: Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Chuyên vế và phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.

Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

3.1. Giải các phương trình sau:

a) x³ - 3x² - 3x - 4 = 0;

b) (x - 1)³ + 3 + x³ + (x + 1)³- (x + 2)³= 0;

3.2. Giải các phương trình sau:

a) 2x³ -7x2 + 4x + 1 = 0;

b) (x² + 2x - 5)² = (x² - x + 5)²

Dạng 4. Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp giải:

Bước 1. Đặt điều kiện xác định (nếu có);

Bước 2. Đặt ẩn phụ, đặt điểu kiện của ẩn phụ (nếu có) và giả phương trình theo ẩn mới;

Bước 3. Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều kiện xác địnl và kết luận.

4.1. Giải các phương trình sau:

a) x(x + l)(x + 2)(x + 3) = 8;

b) (x² + 16x + 60)(x² +17x + 60) = 6x²

$\frac{2 x}{3 x^{2}-x+2}-\frac{7}{3 x^{2}+5 x+2}=1$

4.2. Giải các phương trình sau:

$a) \left(x^{2}-3 x\right)^{2}-6\left(x^{2}-3 x\right)-7=0$

$b) x^{6}+61 x^{3}-8000=0$

$c) \frac{x}{x+1}-10 \frac{x+1}{x}=3$

Dạng 5. Phương trình chứa biếu thức trong dấu căn

Phương pháp giải: Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế

$y: \sqrt{A}=B \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\ A=B^{2}\end{array}\right.$

5.1. Giải các phương trình sau:

$a) \sqrt{x-6 \sqrt{x}+9}=3-\sqrt{x}$

$b) \sqrt{x^{2}+x+1}=3-x$

5.12. Giải các phương trình sau:

$a) x^{2}-3 x+2=(1-x) \sqrt{3 x-2}$

$b \sqrt{x-1}+\sqrt{7 x+1}=\sqrt{14 x-6}$

Dạng 6. Một số dạng khác

Phương pháp giải: Ngoài các phương pháp trên, ta còn dùng các phương pháp hằng đẳng thức, thêm bớt hạng tử, hoặc đánh giá hai vế... để giải phương trình.

6. Giải các phương trình sau bằng phương pháp thêm bớt hạng tử hoặc dùng hằng đẳng thức:

$a) x^{4}=24 \mathrm{x}+32$