Phương trình nghiệm nguyên: Lý thuyết và bài tập

Phương trình nghiệm nguyên là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10 môn Toán.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, ví dụ minh họa, các dạng bài tập có đáp án giải chi tiết kèm theo. Qua đó giúp các bạn học sinh lớp 9 tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập liên quan đến phương trình nghiệm nguyên. Lưu ý khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.
3. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1. Giải phương trình nghiệm nguyên.

Giải phương trình f(x, y, z, ...) = 0 chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất
cả các bộ số nguyên (x, y, z, ...) thỏa mãn phương trình đó.

2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:

Phương pháp dùng tính chất chia hết
Phương pháp xét số dư từng vế
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn

3. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT

Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn

Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x+17 y=159 (1)

Hướng dẫn giải

Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3 x đều chia hết cho 3 nên $17 y \vdots 3 \Rightarrow y \vdots 3$ (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).

Đặt $\mathrm{y}=3 \mathrm{t}(\mathrm{t} \in \mathrm{Z})$ thay vào phương trình ta được $3 \mathrm{x}+17.3 \mathrm{t}=159 \Leftrightarrow \mathrm{x}+17 \mathrm{t}=53.$

Do đó: $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=53-17 \mathrm{t} \\ \mathrm{y}=3 \mathrm{t}\end{array}(\mathrm{t} \in \mathrm{Z})\right.$ . Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(53-17 t, 3 t) với t là số nguyên tùy ý.

Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x+13 y=156 (1).

Hướng dẫn giải

- Phương pháp 1: Ta có 13y:13 và 156:13 nên $2x\vdots13 \Rightarrow x\vdots13$ ( vì (2,3)=1).

Đặt x=13 k( $k \in Z$ ) thay vào (1) ta được: y=-2 k+12

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=13 k \\ y=-2 k+12\end{array}(k \in Z)\right..$

- Phương pháp 2: Từ (1) $\Rightarrow x=\frac{156-13 y}{2}=78-\frac{13 y}{2},$

Để $x \in Z \Rightarrow \frac{13 y}{2} \in Z Mà (13,2)=1 \Rightarrow y \vdots 2 Đặt y=2 t(t \in Z) \Rightarrow x=78-13 t$

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=78-13 t \\ y=-2 t\end{array} \quad(t \in Z)\right..$

Chú ý: Phương trình có dang ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.

* Phương pháp giải:

- Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hang tủ.

- Phương pháp 2: Thủ ẩn, sử dụng tính chia hết tìm đî̀u kiện để một phân số trở thành số nguyên.

Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 23 x+53 y=109.

Hướng dẫn giải

Ta có $x=\frac{109-53 y}{23}=\frac{23(4-2 y)+17-7 y}{23}=4-2 y+\frac{17-7 y}{23}$

Ta phải biến đổi tiếp phân số $\frac{17-7 \mathrm{y}}{23}$ để sao cho hệ số của biến y là 1 .

Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23

$\frac{17-7 \mathrm{y}}{23}=\frac{17-7 \mathrm{y}+46-46}{23}=\frac{7(9-\mathrm{y})-46}{23}=-2+\frac{7(9-\mathrm{y})}{23}$

Từ đó $x=2-2 y+\frac{7(9-y)}{23}$ , Để $x \in Z \Rightarrow \frac{9-y}{23} \in Z, do (7,23)=1.$

Đặt $9-\mathrm{y}=23 \mathrm{t}(\mathrm{t} \in \mathrm{Z}) \Rightarrow \mathrm{y}=9-23 \mathrm{t}$

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=9-23 t \\ y=53 t-16\end{array}(t \in Z)\right..$

Bài toán 4 . Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x+18 y=120

Hướng dẫn giải

Ta thấy $11 x \vdots 6 \Rightarrow x \vdots 6$ suy ra x=6 k( $k \in Z$ ) thay vào (1) rút gọn ta được: 11 k+3 y=20

Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được: $y=\frac{20-11 k}{3}$

Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này: $\mathrm{y}=7-4 \mathrm{k}+\frac{\mathrm{k}-1}{3}$

Lại đặt: $\frac{\mathrm{k}-1}{3}=\mathrm{t}(\mathrm{t} \in \mathrm{Z}) \Rightarrow \mathrm{k}=3 \mathrm{t}+1.$

Do đó: $\mathrm{y}=7-4(3 \mathrm{t}+1)+\mathrm{t}=3-11 \mathrm{t} ; \quad \mathrm{x}=6 \mathrm{k}=6(3 \mathrm{t}+1)=18 \mathrm{t}+6$

Thay các biểu thức trên vào phương trình (1) thấy thỏa mãn

Vậy nghiệm của phưng trình là (x, y)=(18 t+6 ; 3-11 t) với $t \in Z$

Chú ý: a) Nếu đề bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tông quát ta có thể giải điêu kiện:

$\left\{\begin{array}{l} 18 \mathrm{t}+6>0 \\ 3-11 \mathrm{t}>0 \end{array} \Leftrightarrow-\frac{1}{3}<\mathrm{t}<\frac{3}{11}\right.$

Do đó t=0 do t là số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y)=(6,3).

Trong trường hợp tìm nghiệm nguyên dương của (1) ta còn có thể giải như sau: 11 x+18 y=120

Do $\mathrm{y} \geq 1 nên 11 \mathrm{x} \leq 120-18.1=102.$

Do x nguyên nên $\mathrm{x} \leq 9$ . Mặt khác $\mathrm{x} \vdots 6$ và x nguyên dương nên x=6 $\Rightarrow \mathrm{y}=3$

Bài toán 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $6 \mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{y}^{2}=74$

Hướng dẫn giải

Ta có: $6 \mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{y}^{2}=74 \Leftrightarrow 6\left(\mathrm{x}^{2}-4\right)=5\left(10-\mathrm{y}^{2}\right)(2)$

Từ (2) suy ra $6\left(\mathrm{x}^{2}-4\right): 5$ , mặt khác $(6,5)=1 \Rightarrow\left(\mathrm{x}^{2}-4\right) \vdots 5 \Rightarrow \mathrm{x}^{2}=5 \mathrm{t}+4(\mathrm{t} \in \mathrm{N})$

Thay $\mathrm{x}^{2}-4=5 \mathrm{t}$ vào (2) ta có: $30 \mathrm{t}=5\left(10-\mathrm{y}^{2}\right) \Leftrightarrow \mathrm{y}^{2}=10-6 \mathrm{t}$

Suy ra: $t \in\{0 ; 1\}$

Với t=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với t=1 ta có: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=9 \\ y^{2}=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\pm 3 \\ y=\pm 2\end{array}\right.\right.$ .

Mặt khác x, y nguyên dương nên x=3, y=2.

Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(3,2).

Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số

* Cơ sở phương pháp:

Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên.

Thực chất là biến đổi phương trình về dạng: $\mathrm{A}(\mathrm{x} ; \mathrm{y}) \cdot \mathrm{B}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})=\mathrm{c} trong đó \mathrm{A}(\mathrm{x} ; \mathrm{y}), \mathrm{B}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$

Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên.

* Cơ sở phương pháp: Trong nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại.

Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: $x y-2 y-3 y+1=0$