Phân tích đa thức thành nhân tử: Lý thuyết và bài tập

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 là tài liệu vô cùng hữu ích cung cấp cho các em học sinh tài liệu tham khảo, học tập, bồi dưỡng và nâng cao kiến thức môn toán theo chương trình hiện hành.

Phân tích đa thức thành nhân tử tổng hợp toàn bộ kiến thức về phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ví dụ minh họa kèm theo các bài tập có đáp án giải chi tiết và bài tập tự luyện. Hi vọng qua tài liệu này các em sẽ vận dụng kiến thức của mình để làm bài tập, rèn luyện linh hoạt cách giải các dạng đề để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: bài tập về hằng đẳng thức, Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.

Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử

I. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?
II. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
III. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử
IV. Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tử

I. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

1. Định nghĩa:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ví dụ:

a) 2x²+ 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)

b) x - 2 $\sqrt{x}$ y +5 $\sqrt{x}$ - 10y = [( $\sqrt{x}$ )²– 2 $\sqrt{x}$ y ] + (5 $\sqrt{x}$ - 10y)

= $\sqrt{x}$ ( $\sqrt{x}$ - 2y) + 5( $\sqrt{x}$ - 2y)

= ( $\sqrt{x}$ - 2y)( $\sqrt{x}$ + 5)

II. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

a) Phương pháp đặt nhân tử chung:

Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.

Công thức:

AB + AC = A(B + C)

Ví dụ:

1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)

2. 3x + 12 $\sqrt{x}$ y = 3 $\sqrt{x}$ ( $\sqrt{x}$ + 4y)

b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.

*Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

(A - B)² = A² - 2AB + B²

A²- B² = (A + B)(A - B)

(A+B)³= A³+ 3A²B + 3AB²+ B³

(A - B)³= A³- 3A²B + 3AB²-B³

A³+ B³ = (A+B) (A²- AB + B²)

A³ - B³ = (A - B)(A²+ AB + B²)

c) Phương pháp nhóm hạng tử:

Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ:

1. x²– 2xy + 5x – 10y = (x²– 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)

= (x – 2y)(x + 5)

2. x - 3+ y – 3y = (x - 3) + (y – 3y)

= ( - 3) + y( - 3)= (- 3)( + y)

d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)

Tam thức bậc hai có dạng: ax² + bx + c = ax² + b₁x + b₂x + c () nếu

Ví dụ:

a) 2x²-3x + 1

= 2x² - 2x - x +1

= 2x(x - 1) - (x - 1)

= (x - 1)(2x - 1)

e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:

Ví dụ:

a) y⁴+ 64 = y⁴+ 16y² + 64 - 16y²

= (y² + 8)² - (4y)²

= (y² + 8 - 4y)(y² + 8 + 4y)

b) x²+ 4 = x²+ 4x + 4 - 4x = (x + 2)² - 4x

= (x + 2)² - =

f. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:

Ví dụ:

a) a³-a²b - ab² + b³ = a²(a - b) - b²(a - b)

=(a - b) (a² - b²)

= (a - b) (a - b) (a + b)

= (a - b)²(a + b)

III. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 14x²– 21xy²+ 28x²y² = 7x(2x - 3y² + 4xy²)

b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x)

c) x²+ 4x – y²+ 4 = (x + 2)² - y² = (x + 2 - y)(x + 2 + y)

Bài 2: Giải phương trình sau :

2(x + 3) – x(x + 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x₁ = -3: x₂= 2

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)8x³+ 4x² - y³ - y² = (8x³ - y³) + (4x² - y²)

b) x²+ 5x -6 = x² + 6x - x - 6

= x(x + 6) - (x + 6)

= (x + 6)(x - 1)

c. a⁴+ 16 = a⁴+ 8a² + 16 - 8a²

= (a² + 4)² - (a)²

= (a² + 4 +a)( a² + 4 - a)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x⁵+ x³+ x² + 1):(x³ + 1)

b) (x²-5x + 6):(x - 3)

Giải:

a) Vì x⁵+ x³+ x² + 1

= x³(x² + 1) + x² + 1

= (x² + 1)(x³ + 1)

nên (x⁵ + x³ + x² + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)(x³ + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)

b)Vì x² - 5x + 6

= x² - 3x - 2x + 6

= x(x - 3) - 2(x - 3)

= (x - 3)(x - 2)

nên (x² - 5x + 6):(x - 3)

= (x - 3)(x - 2): (x - 3)

= (x - 2)

Bài 5

Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

$a)\ (x^5+x^3+x^2+1):(x^3+1)$

$b)\ (x^2-5x+6):(x-3)$

Giải:

$a)\ Vì\ x^5+x^3+x^2+1=x^3(x^2+1)+x^2+1=(x^2+1)(x^3+1)$

nên $(x^5+x^3+x^2+1):(x^3+1)=(x^2+1)(x^3+1):(x^3+1)=(x^2+1)$

$b)\ Vì\ x^2-5x+6=x^2-3x-2x+6=x(x-3)-2(x-3)=(x-3)(x-2)$

nên $(x^2-5x+6):(x-3)=(x-3)(x-2):(x-3)=(x-2)$

Bài 6

$a)\ y^4+64=y^4+16y^2+64-16y^2$

$=(y^2+8)^2-(4y)^2$

$=(y^2+8-4y)(y^2+8+4y)$

$b)\ x^2+4=x^2+4x+4-4x$

$=(x+2)^2-4x=(x+2)^2-(2\sqrt{x})^2$

$=(x-2\sqrt{x}+2)(x+2\sqrt{x}+2)$

Bài 7' Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử:

a. ${x^2} - 7x + 6$

b. ${x^2} - 3x - 10$

c. $2{x^2} + 5x - 3$

d. $6{x^2} + x - 7$

Gợi ý đáp án

a. Ta có:

$\begin{matrix} {x^2} - 7x + 6 \hfill \\ = {x^2} - x - 6x + 6 \hfill \\ = x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) \hfill \\ = \left( {x - 6} \right)\left( {x - 1} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

b. Ta có:

$\begin{matrix} {x^2} - 3x - 10 \hfill \\ = {x^2} + 2x - 5x - 10 \hfill \\ = x\left( {x + 2} \right) - 5\left( {x + 2} \right) \hfill \\ = \left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

c. Ta có:

$\begin{matrix} 2{x^2} + 5x - 3 \hfill \\ = 2{x^2} + 6x - x - 3 \hfill \\ = 2x\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right) \hfill \\ = \left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

d. Ta có:

$\begin{matrix} 6{x^2} + x - 7 \hfill \\ = 6{x^2} - 6x + 7x - 7 \hfill \\ = 6x\left( {x - 1} \right) + 7\left( {x - 1} \right) \hfill \\ = \left( {6x + 7} \right)\left( {x - 1} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

IV. Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x²- y² - 2x + 2y

b) 2x + 2y - x² - xy

c) 3a²- 6ab + 3b² - 12c²

d) x² - 25 + y² + 2xy

e) a²+ 2ab + b² - ac - bc

f) x² - 2x - 4y² - 4y

g) x²y - x³- 9y + 9x

h) x²(x -1) + 16(1- x)

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) 4x² – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

2) 3(x+ 4) – x² – 4x

3) 5x² – 5y² – 10x + 10y

4) x² – xy + x – y

5) ax – bx – a² + 2ab – b^{2 \}

6) x² + 4x – y² + 4

7) x³ – x² – x + 1

8) x⁴ + 6x²y + 9y² - 1

9) x³ + x²y – 4x – 4y

10) x³ – 3x² + 1 – 3x

11) 3x² – 6xy + 3y² – 12z²

12) x² – 2x – 15

13) 2x² + 3x – 5

14) 2x² – 18

15) x² – 7xy + 10y²

16) x³ – 2x² + x – xy²

Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. x²+ 2xy – 8y²+ 2xz + 14yz – 3z²

2. 3x²– 22xy – 4x + 8y + 7y²+ 1

3. 12x²+ 5x – 12y²+ 12y – 10xy – 3

4. 2x²– 7xy + 3y²+ 5xz – 5yz + 2z²

5. x²+ 3xy + 2y²+ 3xz + 5yz + 2z²

6. x²– 8xy + 15y²+ 2x – 4y – 3

7. x⁴– 13x²+ 36

8. x⁴+ 3x²– 2x + 3

9. x⁴+ 2x³+ 3x² + 2x + 1

Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1. (a – b)³+ (b – c)³+ (c – a)³

2. (a – x)y³– (a – y)x³– (x – y)a³

3. x(y²– z²) + y(z²– x²) + z(x² – y²)

4. (x + y + z)³– x³– y³ – z³

5. 3x⁵– 10x⁴– 8x³ – 3x² + 10x + 8

6. 5x⁴+ 24x³– 15x² – 118x + 24

7. 15x³+ 29x²– 8x – 12

8. x⁴– 6x³+ 7x² + 6x – 8

9. x³+ 9x²+ 26x + 24

Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. a(b + c)(b²– c²) + b(a + c)(a²– c²) + c(a + b)(a² – b²)

2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

3. a(b²– c²) – b(a²– c²) + c(a² – b²)

4. (x – y)⁵+ (y – z)⁵+ (z – x)⁵

5. (x + y)⁷– x⁷– y⁷

6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc

7. (x + y + z)⁵– x⁵– y⁵ – z⁵

8. a(b²+ c²) + b(c²+ a²) + c(a² + b²) + 2abc

9. a³(b – c) + b³(c – a) + c³(a – b)

10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1

Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. (x²+ x)²+ 4x² + 4x – 12

2. (x²+ 4x + 8)²+ 3x(x² + 4x + 8) + 2x²

3. (x²+ x + 1)(x²+ x + 2) – 12

4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

5. (x²+ 2x)²+ 9x² + 18x + 20

6. x²– 4xy + 4y²– 2x + 4y – 35

7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

8. (x²+ x)²+ 4(x² + x) – 12

9. 4(x²+ 15x + 50)(x²+ 18x + 72) – 3x²

Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1.	16x³y + 0,25yz³	21.	(a + b + c)² + (a + b – c)² – 4c²
2.	x ⁴ – 4x³ + 4x²	22.	4a²b² – (a² + b² – c²)²
3.	2ab² – a²b – b³	23.	a ⁴ + b⁴ + c⁴ – 2a²b² – 2b²c² – 2a²c²
4.	a ³ + a²b – ab² – b³	24.	a(b³ – c³) + b(c³ – a³) + c(a³ – b³)
5.	x ³ + x² – 4x - 4	25.	a ⁶ – a⁴ + 2a³ + 2a²
6.	x ³ – x² – x + 1	26.	(a + b)³ – (a – b)³
7.	x ⁴+ x³ + x² - 1	27.	X ³ – 3x² + 3x – 1 – y³
8.	x ²y² + 1 – x² – y²	28.	X ^{m + 4} + x^{m + 3} – x - 1
10.	x ⁴ – x² + 2x - 1	29.	(x + y)³ – x³ – y³
11.	3a – 3b + a² – 2ab + b²	30.	(x + y + z)³ – x³ – y³ – z³
12.	a ² + 2ab + b² – 2a – 2b + 1	31.	(b – c)³ + (c – a)³ + (a – b)³
13.	a ² – b² – 4a + 4b	32.	x³ + y³+ z³ – 3xyz
14.	a ³ – b³ – 3a + 3b	33.	(x + y)⁵ – x⁵ – y⁵
15.	x ³ + 3x² – 3x - 1	34.	(x² + y²)³ + (z² – x²)³ – (y² + z²)³
16.	x ³ – 3x² – 3x + 1	35.	x³ – 5x²y – 14xy²
17.	x ³ – 4x² + 4x - 1	36.	x⁴ – 7x² + 1
18.	4a²b² – (a² + b² – 1)²	37.	4x⁴ – 12x² + 1
19.	(xy + 4)² – (2x + 2y)²	38.	x² + 8x + 7
20.	(a² + b² + ab)² – a²b² – b²c² – c²a²	39.	x³ – 5x² – 14x

Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1.	x⁴y⁴ + 4	6	x⁷ + x² + 1
2.	x⁴y⁴ + 64	7	x⁸ + x + 1
3.	4 x⁴y⁴ + 1	8	x⁸ + x⁷ + 1
4.	32x⁴ + 1	9	x⁸ + 3x⁴ + 1
5.	x⁴ + 4y⁴	10	x¹⁰ + x⁵ + 1

Bài tập 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) (x² + 3x + 1)(x² + 3x + 2) - 30

b) 4x⁴ - 8x³ + 3x² - 8x + 4

c) 2x⁴ - 15x³ + 35x² - 30x + 8

d) 2x³ - x² + 5x + 3

Bài tập 10: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. $5{x^2}{y^2} - 25{x^3}{y^4} + 10{x^3}{y^3}$

b. $12{x^2}y - 18x{y^2} - 30{y^2}$

Bài tập 11: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. $6{x^2} - 11x + 3$	b. $2{x^2} + 3x - 27$
c. $2{x^2} - 5xy - 3{y^2}$	d. ${x^3} + 2x - 3$
e. ${x^3} - 7x + 6$	f. ${x^3} + 5{x^2} + 8x + 4$
g. ${x^3} - 9{x^2} + 6x + 16$	h. ${x^3} + {x^2} - x + 2$