Hướng dẫn dạy các dạng Toán tạo lập số, tìm số lượng

Các dạng Toán tạo lập số, tìm số lượng là tài liệu hữu ích đem đến cho các em học sinh những bài học bổ ích và kiến thức cần thiết phục vụ cho các kỳ thi. Chúc các em học tốt.

Hướng dẫn dạy các dạng Toán tạo lập số, tìm số lượng

Bài toán 1: Cho 3 chữ số 5, 6, 8. Hãy lập tất cả các số có hai chữ số khác nhau từ 3 chữ số trên. Có tất cả bao nhiêu số như vậy?

Phân tích: Bài toán này đề toán cho ít chữ số, các số được lập thỏa mãn các điều kiện: có 2 chữ số; được lập từ các chữ số đã cho; trong mỗi số các chữ số phải khác nhau. Với các điều kiện trên ta có thể ghép 2 chữ số khác nhau lại tạo thành các số rồi đếm.

Giải: Lần lượt đặt các chữ số 5, 6, 8 vào hàng chục ta được các số sau:

56, 58, 65, 68, 85, 86

Có tất cả 6 số như vậy.

Nhận xét: Nếu như đề toán cho nhiều chữ số và các số được lập có nhiều chữ số hơn thì ta chọn cách giải như bài toán 1 là mất thời gian, thậm chí liệt kê ra không hết. Vậy ta nên chọn cách giải nào cho có hiệu quả? Ta tìm hiểu tiếp bài toán 2 sau đây:

Bài toán 2: cho 3 chữ số 2, 4, 6.

a. Hãy lập các số có 3 chữ số từ những chữ số trên.

b. Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ những số trên.

Phân tích:

a. các số được lập phải thỏa mãn các điều kiện:

Có 3 chữ số; được lập từ các chữ số đã cho; trong mỗi số các chữ số có thể lặp lại.

b. Các số được lập phải thỏa mãn các điều kiện:

Có 3 chữ số; được lập từ các chữ số đã cho; trong mỗi số các chữ số không lặp lại.

Nhận xét: Với những bài toán không yêu cầu lập số cụ thể mà chỉ yêu cầu tìm ra số lượng các số thì ta có nên lập sơ đồ cây hay không? Liệu có cách giải nào khác hay hơn? Nhìn vào bài toán 2 ta thấy nếu các chữ số đã cho khác 0 thì:

* Nếu trong mỗi số được lập các chữ số không phải khác nhau ta có cách tính số lượng số cần lập được tính như sau:

+ Có n chữ số sẽ có n cách chọn hàng cao nhất.

+ Với mỗi cách chọn hàng cao nhất có n cách chọn hàng cao thứ nhì.

+ Với mỗi cách chọn hàng cao thứ nhì thì có n cách chọn hàng cao thứ ba

+ Tương tự ta có n cách chọn cho hàng tiếp theo.

Số lượng số cần lập bằng tích của các cách chọn.

* Nếu trong mỗi số được lập các chữ số phải khác nhau (các chữ số không lặp lại) ta có cách tính số lượng số cần lập được tính như sau:

+ Có nchữ số sẽ có n cách chọn hàng cao nhất.

+ Với mỗi cách chọn hàng cao nhất có n - 1 cách chọn hàng cao thứ nhì.

+ Với mỗi cách chọn hàng cao thứ nhì thì có n - 2 cách chọn hàng cao thứ ba

+...

Số lượng số cần lập bằng tích của các cách chọn.

Lưu ý: Nếu trong các chữ số đã cho có chữ số 0 thì chữ số 0 không được đứng làm hàng cao nhất.

Từ nhận xét trên ta giải các bài toán sau:

Bài toán 3: Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 em viết được bao nhiêu số:

a. Có 3 chữ số

b. Có 3 chữ số khác nhau?

Giải:

a. Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm (là một trong năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5). Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm thì có 5 cách chọn chữ số hàng chục. Với mỗi cách chọn chữ số hàng chục thì có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Vậy số lượng số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán là:

5 x 5 x 5 = 125 (số)

b. Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta có 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng trăm thì chỉ có 4 cách chọn chữ số ở hàng chục (là một trong bốn chữ số còn lại). Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng chục thì chỉ còn 3 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị.

Vậy số lượng số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán là:

5 x 4 x 3 = 60 (số)

Đáp số: a, 125 số

b, 60 số

Bài toán 4: Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 em viết được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?

Giải: Ta có 4 cách chọn chữ số ở hàng trăm là một trong bốn chữ số khác 0: 1, 2, 3, 4. Sau khi đã chọn chữ số ở hàng trăm ta có 4 cách chọn chữ số ở hàng chục là một trong bốn chữ số còn lại. sau khi đã chọn chữ số ở hàng trăm, hàng chục rồi thì chỉ còn 3 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị.

Vậy số lượng số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán là:

4 x 4 x 3 = 48 (số)

Đáp số: 48 số

Bài toán 5: Có bao nhiêu số gồm ba chữ số có chứa chữ số 5?

Phân tích: Bài toán này không cho trước các chữ số để lập số, không yêu cầu lập số cụ thể mà chỉ yêu cầu tìm số lượng số. Ta có thể giải bài toán trên bằng cách:

+ Tìm số lượng số có 3 chữ số (các số từ 100 đến 999).

+ Tìm số lượng số có 3 chữ số không chứa chữ số 5 (được lập từ 9 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 và trong mỗi số các chữ số có thể lặp lại)

+ số lượng số cần tìm chính là hiệu của hai kết quả trên.

Hướng dẫn

Số lượng các số có ba chữ số là:

999 - 100 + 1 = 900 (số)

* Ta tìm số các số có 3 chữ số không chứa chữ số 5:

- Có 8 cách chọn chữ số hàng trăm (chọn một trong các chữ số khác 0 và khác 5).

- Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng trăm ta có 9 cách chọn chữ số ở hàng chục (chọn một trong các chữ số khác 5).

- Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng chục ta có 9 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị (chọn một trong các chữ số khác 5).

Ta có số lượng các số có ba chữ số không chứa chữ số 5 là:

8 x 9 x 9 = 648 (số)

Vậy số các số gồm ba chữ số có chứa chữ số 5 là:

900 – 648 = 252 (số)

Đáp số: 252 số

Bài toán 6:

a. Có bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 9.

b. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9.

Phân tích: Bài toán không cho trước các chữ số để lập số; các số được lập phải chia hết cho 9 nên ta dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để tìm số lượng các số thỏa mãn bài toán.

Giải:

a. Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 1008, số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 9999. Các số có 4 chữ số chia hết cho 9 lập thành dãy số sau:

1008, 1017, 1026,…., 9999

Hai số liên tiếp thuộc dãy số trên cách nhau 9 đơn vị. Vậy số lượng các số có 4 chữ số chia hết cho 9 là: (9999 – 1008): 9 + 1 = 1000 (số)

b. Số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 1008, số chẵn lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 9990. Các số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9 lập thành dãy số sau:

1008, 1026, 1044,…, 9990

Hai số liên tiếp thuộc dãy số trên cách nhau 18 đơn vị. Vậy số lượng các số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9 là: (9990 – 1008) : 18 + 1 = 500 (số)

Đáp số: a. 1000 số

b. 500 số

Cũng có thể giải câu b dựa vào nhận xét: “Số các số chẵn gồm 4 chữ số chia hết cho 9 đúng bằng số các số lẻ gồm 4 chữ số chia hết cho 9”.

Vậy các số chẵn gồm 4 chữ số chia hết cho 9 là:

1000 : 2 = 500 (số)

KL: Với mỗi bài toán về tạo lập số, tìm số lượng các số khác nhau ta có các cách giải khác nhau. Tùy vào điều kiện và mức độ yêu cầu cao, thấp của đề bài mà ta lựa chọn cách giải cho phù hợp và đạt hiệu quả cao nhất.

Bài toán 7: Lập số tự nhiên bé nhất có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số sau: 0, 2, 3, 6, 8.

Hướng dẫn

Vì đề bài yêu cầu số đó có 4 chữ số khác nhau, nên các chữ số không được lặp lại, tức là chữ số nào đã dùng rồi thì không được sử dụng lại.

Chọn chữ số đầu tiên (từ trái qua): Số 0 không thể đứng đầu nên loại, trong các số còn lại, số 2 là số bé nhất nên ta chọn số 2 là chữ số đầu tiên.
Chọn chữ số thứ 2: Trong các số còn lại là: 0, 3, 6, 8 thì 0 là số bé nhất nên ta chọn 0 là chữ số thứ 2.
Chọn chữ số thứ 3: Trong 3 chữ số còn lại: 3, 6, 8 thì 3 là số bé nhất nên ta chọn 3 là chữ số thứ 3.
Chọn chữ số thứ 4: Trong 2 chữ số còn lại: 6, 8 thì 6 bé hơn nên ta chọn 6 là chữ số thứ 4.
Qua 4 bước chọn trên, như vậy, chúng ta đã lập được số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số: 0, 2, 3, 6, 8 là 2036.

Bài toán 8.

a. Có bao nhiêu số có 4 chữ số và chia hết cho 9.

b. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9.

Giải:

a. Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 1008, số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 9999. Các số có 4 chữ số chia hết cho 9 lập thành dãy số sau: 1008, 1017, 1026,… 9999

Trong dãy trên, cứ hai số liên tiếp thuộc dãy số trên cách nhau 9 đơn vị. Vậy số lượng các số có 4 chữ số chia hết cho 9 là: (9999 – 1008): 9 + 1 = 1000.

b. Số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 1008, số chẵn lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 9990. Các số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9 lập thành dãy số sau: 1008, 1026, 1044,…, 9990

Hai số liên tiếp thuộc dãy số trên cách nhau 18 đơn vị. Vậy số lượng các số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9 là: (9990 – 1008) : 18 + 1 = 500.

Cũng có thể giải câu b dựa vào nhận xét: “Số các số chẵn gồm 4 chữ số chia hết cho 9 đúng bằng số các số lẻ gồm 4 chữ số chia hết cho 9”. Vậy các số chẵn gồm 4 chữ số chia hết cho 9 là: 1000 : 2 = 500.