Giải bài tập Toán 9 Bài 3: Góc nội tiếp để xem gợi ý giải các bài tập trang 75, 76 thuộc chương trình Hình học lớp 9 tập 2.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 75, 76 Toán lớp 9 tập 2. Qua đó giúp học sinh lớp 9 tham khảo nắm vững hơn kiến thức trên lớp. Mời các bạn cùng theo dõi bài tại đây.

Giải Toán 9 Bài 3: Góc nội tiếp

Lý thuyết Bài 3: Góc nội tiếp
Giải bài tập toán 9 trang 75, 76 Tập 2
Giải bài tập toán 9 trang 75 Tập 2: Luyện tập

Lý thuyết Bài 3: Góc nội tiếp

1. Định nghĩa

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn.

2. Định lí

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

3. Hệ quả

Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp ( nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Giải bài tập toán 9 trang 75, 76 Tập 2

Bài 15 (trang 75 SGK Toán 9 Tập 2)

Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

b) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

Xem gợi ý đáp án

a) Đúng (theo hệ quả b).

b) Sai. Vì trong cùng một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau chưa chắc cùng chắn một cung.

Bài 16 (trang 75 SGK Toán 9 Tập 2)

Xem hình 19 (hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C).

a) Biết $\widehat{MAN} = 30^{\circ}$ , tính $\widehat{PCQ}.$

b) Nếu $\widehat{PCQ} =136^{\circ}$ thì $\widehat{MAN}$ có số đo là bao nhiêu?

Xem gợi ý đáp án

Vẽ hình

a) Xét đường tròn tâm B có $\widehat {MAN}$ là góc nội tiếp chắn cung MN mà $\widehat {MAN} = 30^\circ$ nên $\widehat {MAN} = \dfrac{1}{2}\widehat {MBN} \\$

$\Rightarrow \widehat {MBN} = 2.\widehat {MAN} = 2.30^\circ = 60^\circ .$

Suy ra $\widehat {PBQ} = 60^\circ .$

Lại xét đường tròn tâm C có $\widehat {PBQ} = 60^\circ$ là góc nội tiếp chắn cung $PQ \Rightarrow \widehat {PBQ} = \dfrac{1}{2}\widehat {PCQ} \\$

$\Rightarrow \widehat {PCQ} = 2.\widehat {PBQ} = 2.60^\circ = 120^\circ .$

b) Theo chứng minh câu a) ta có $\widehat {PCQ} = 2\widehat {PBQ} = 2.2\widehat {MAN} \\$

$\Leftrightarrow \widehat {PCQ} = 4.\widehat {MAN}$

Nếu $\widehat {PCQ} = 136^\circ \\$

$\Rightarrow \widehat {MAN} = \dfrac{1}{4}\widehat {PCQ}= \dfrac{{136^\circ }}{4} = 34^\circ .$

Bài 17 (trang 75 SGK Toán 9 Tập 2)

Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng êke thì phải làm như thế nào?

Xem gợi ý đáp án

Áp dụng hệ quả: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Cách xác định:

+ Đặt đỉnh vuông của eke trùng với một điểm N bất kỳ trên đường tròn, kẻ đường thẳng đi qua cạnh huyền của êke cắt đường tròn tại A và B ta được đường kính AB.

+ Vẫn đặt đỉnh vuông của eke tại N, xoay eke theo hướng khác, kẻ đường thẳng đi qua cạnh huyền của êke cắt đường tròn tại C và D ta được đường kính CD.

+ CD cắt AB tại tâm O của đường tròn.

Bài 18 (trang 75 SGK Toán 9 Tập 2)

Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, C trên một cung tròn như hình 20.

Hãy so sánh các góc $\widehat{PAQ}, \widehat{PBQ}, \widehat{PCQ}.$

Xem gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

Với các vị trí A, B, C trên một cung tròn thì ta được các góc nội tiếp $\widehat{PAQ},\widehat{PBQ}, \widehat{PCQ}$ cùng chắn một cung $\overparen{PQ}$ , nên suy ra $\widehat{PAQ} = \widehat{PBQ} = \widehat{PCQ}.$

Vậy với các vị trí trên thì các góc sút đều bằng nhau, không có góc sút nào rộng hơn.

Giải bài tập toán 9 trang 75 Tập 2: Luyện tập

Bài 19 (trang 75 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Xem gợi ý đáp án

Xét đường tròn tâm O có AB là đường kính nên $\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = 90^\circ$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra BM $\bot SA;\,AN \bot SB$ mà $BM \cap AN$ tại H nên H là trực tâm tam giác SAB.

Do đó $SH \bot AB$ . (vì trong một tam giác ba đường cao đồng quy)

Bài 20 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Xem gợi ý đáp án

Nối B với 3 điểm A, C, D.

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {ABC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ABC} = 90^\circ .$

Xét đường tròn $\left( {O'} \right)$ có $\widehat {ABD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ABD} = 90^\circ .$

Suy ra $\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ nên $\widehat {CBD} = 180^\circ \Rightarrow$ C,B,D thẳng hàng.

Bài 21 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?

Xem gợi ý đáp án

Vì hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ bằng nhau nên cung AB của $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ bằng nhau

Suy ra $\widehat {AMB} = \widehat {ANB}$ (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau)

Do đó tam giác BMN là tam giác cân tại B.

Bài 22 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2)

Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có:

MA² = MB . MC

Xem gợi ý đáp án

Xét (O) có $\widehat {AMB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $AM \bot BC$

Lại có AC là tiếp tuyến tại A nên $\widehat {BAC} = 90^\circ$

Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$M{A^2} = MB.MC$ (đpcm)

Bài 23 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng . Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh MA.MB = MC.MD.

Xem gợi ý đáp án

Xét hai trường hợp:

a) M ở bên trong đường tròn (hình a)

Xét hai tam giác MAD và MCB có:

$\widehat{AMD} = \widehat{CMB}$ ( đối đỉnh)

$\widehat{ADM} = \widehat{CBM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Do đó ∆MAD đồng dạng ∆MCB (g-g), suy ra:

$\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}$ , do đó MA. MB = MC. MD

b) M ở bên ngoài đường tròn (hình b)

Tương tự, xét hai tam giác MAD và MCB có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MDA} = \widehat{MBC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Nên ∆MAD đồng dạng ∆MCB (g-g)

Suy ra: $\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}$

hay MA. MB = MC. MD

Bài 24 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2)

Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB.

Xem gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa:

Gọi MN = 2R là đường kính của đường tròn có cung tròn là AMB

Theo bài tập 23, ta có: KA. KB = KM. KN

hay KA. KB = KM. (2R - KM)

Ta có: KA = KB = 20 m

Thay số, ta có: 20. 20 = 3(2R - 3)

do đó 6R = 400 + 9 = 409.

Vậy R = \dfrac{409}{6} ≈68,2 (mét)

Bài 25 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2)

Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5cm.

Xem gợi ý đáp án

Cách vẽ như sau:

- Vẽ đoạn thẳng BC dài 4cm.

- Vẽ nửa đường tròn đường kính BC.

- Vẽ đường tròn tâm B bán kính 2,5cm cắt nửa đường tròn đường kính BC tại A.

Ta có tam giác thỏa mãn các yêu cầu của đề bài.

Bài 26 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC.Gọi giao điểm của MN và AC là S.Chứng minh SM = SC và SN = SA

Xem gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa: