Đăng nhập Đăng kí

Trang chủ Học tập Lớp 9 Giải Toán 9

Giải Toán 9 trang 32, 33, 34 - SGK Toán 9 Tập 1

Giải Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Giải SGK Toán 9 Tập 1 (trang 32, 33, 34)

Giải Toán lớp 9 trang 32, 33, 34 tập 1 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi và bài tập trong SGK bài 8 Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Giải Toán 9 Bài 8 tập 1 Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán. Giải Toán lớp 9 trang 32, 33, 34 tập 1 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

pc9050">Trả lời câu hỏi Bài 8 trang 32

pc9051">Câu 1

pc9052">Câu 2

Câu hỏi 3

Giải bài tập toán 9 trang 32, 33, 34 tập 1

Bài 58 (trang 32 SGK Toán 9 Tập 1)
Bài 59 (trang 32 SGK Toán 9 Tập 1)
Bài 60 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)
Bài 61 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Giải bài tập toán 9 trang 33: Luyện tập

Bài 62 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)
Bài 63 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)
Bài 64 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)
Bài 65 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1)
Bài 66 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1)

Lý thuyết Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Các công thức biến đổi căn thức

pc9050" style="text-align:center">Trả lời câu hỏi Bài 8 trang 32

pc9051">Câu 1

Rút gọn: $3 \sqrt{5 a}-\sqrt{20 a}+4 \sqrt{45 a}+\sqrt{a} với a \geq 0$

Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt các công thức về căn thức như đưa thừa số ra ngoài dấu căn, khai phương 1 tích để rút gọn

Lời giải chi tiết:

$3\sqrt {5a} - \sqrt {20a} + 4\sqrt {45a} + \sqrt a$

$= 3\sqrt 5 .\sqrt a - \sqrt {4.5} \sqrt a + 4\sqrt {9.5} \sqrt a + \sqrt a$

$= 3\sqrt 5 \sqrt a - 2\sqrt 5 \sqrt a + 12\sqrt 5 \sqrt a + \sqrt a$

$= \sqrt a \left( {3\sqrt 5 - 2\sqrt 5 + 12\sqrt 5 + 1} \right)$

$= \left( {13\sqrt 5 + 1} \right)\sqrt a$

pc9052">Câu 2

Chứng minh đẳng thức $\dfrac{{a\sqrt a + b\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} = {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2}$ với a > 0,b > 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có VT = $\dfrac{{a\sqrt a + b\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab}$

$= \dfrac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^3}}}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab}$

$= \dfrac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab} + b} \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab}$

$= a - \sqrt {ab} + b - \sqrt {ab} \\$

$= {\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2\sqrt {ab} + {\left( {\sqrt b } \right)^2}$

$= {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} = VP (đpcm).$

(Chú ý: VT là vế trái, VP là vế phải)

Câu hỏi 3

: Rút gọn các biểu thức sau:

a. $\frac{{{x^2} - 3}}{{x + \sqrt 3 }}$

b. $\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }}$ với a ≥ 0 và a ≠ 1

Gợi ý đáp án

a. Điều kiện xác định $x \ne - \sqrt 3$

$\frac{{{x^2} - 3}}{{x + \sqrt 3 }} = \frac{{{x^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{x + \sqrt 3 }} = \frac{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}}{{x + \sqrt 3 }} = x - \sqrt 3$

b. Ta có:

$\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} = \frac{{{1^3} - \sqrt {{a^3}} }}{{1 - \sqrt a }} = \frac{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a + a} \right)}}{{1 - \sqrt a }} = 1 + \sqrt a + a$

Giải bài tập toán 9 trang 32, 33, 34 tập 1

Bài 58 (trang 32 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

$a. 5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}$

$b. \sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5};$

$c. \sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72};$

$d. 0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}$

Gợi ý đáp án:

$a. 5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}$

Ta có:

$5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}$

$\eqalign{ & = \sqrt {{5^2}.{1 \over 5}} + \sqrt {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}.20} + \sqrt 5 \cr & = \sqrt {25.{1 \over 5}} + \sqrt {{1 \over 4}.20} + \sqrt 5 \cr & = \sqrt {{{25} \over 5}} + \sqrt {{{20} \over 4}} + \sqrt 5 \cr & = \sqrt 5 + \sqrt 5 + \sqrt 5 \cr & = \left( {1 + 1 + 1} \right)\sqrt 5 = 3\sqrt 5 \cr}$

$b. \sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5};$

Ta có:

$\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}$

$\eqalign{ & = \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {{9 \over 2}} + \sqrt {{{25} \over 2}} \cr & = \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {9.{1 \over 2}} + \sqrt {25.{1 \over 2}} \cr & = \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {3^2.{1 \over 2}} + \sqrt {5^2.{1 \over 2}} \cr & = \sqrt {{1 \over 2}} + 3\sqrt {{1 \over 2}} + 5\sqrt {{1 \over 2}} \cr & = \left( {1 + 3 + 5} \right).\sqrt {{1 \over 2}} \cr & = 9\sqrt {{1 \over 2}} = 9{1 \over {\sqrt 2 }} \cr & = 9.{{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2.\sqrt 2 }} = {{9\sqrt 2 } \over 2} \cr}$

$c. \sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72};$

Ta có:

$\eqalign{ & \sqrt {20} - \sqrt {45} + 3\sqrt {18} + \sqrt {72} \cr & = \sqrt {4.5} - \sqrt {9.5} + 3\sqrt {9.2} + \sqrt {36.2} \cr & = \sqrt {{2^2}.5} - \sqrt {{3^2}.5} + 3\sqrt {{3^2}.2} + \sqrt {{6^2}.2} \cr & = 2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 + 3.3\sqrt 2 + 6\sqrt 2 \cr & = 2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 + 9\sqrt 2 + 6\sqrt 2 \cr & = \left( {2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 } \right) + \left( {9\sqrt 2 + 6\sqrt 2 } \right) \cr & = \left( {2 - 3} \right)\sqrt 5 + \left( {9 + 6} \right)\sqrt 2 \cr & = - \sqrt 5 + 15\sqrt 2 = 15\sqrt 2 - \sqrt 5 \cr}$

$d. 0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}$

Ta có:

$\eqalign{ & 0,1\sqrt {200} + 2\sqrt {0,08} + 0,4.\sqrt {50} \cr & = 0,1\sqrt {100.2} + 2\sqrt {0,04.2} + 0,4\sqrt {25.2} \cr & = 0,1\sqrt {10^2.2} + 2\sqrt {0,2^2.2} + 0,4\sqrt {5^2.2} \cr & = 0,1.10\sqrt 2 + 2.0,2\sqrt 2 + 0,4.5\sqrt 2 \cr & = 1\sqrt 2 + 0,4\sqrt 2 + 2\sqrt 2 \cr & = \left( {1 + 0,4 + 2} \right)\sqrt 2 = 3,4\sqrt 2 \cr}$

Bài 59 (trang 32 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau (với a>0, b>0):

$a. 5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a};$

$b. 5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}.$

Gợi ý đáp án:

$a. 5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a};$

Ta có:

$5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}$

$=5\sqrt a - 4b\sqrt{5^2.a^2.a}+5a\sqrt{4^2.b^2.a}-2\sqrt{3^2.a}$

$=5\sqrt a - 4b\sqrt{(5a)^2.a}+5a\sqrt{(4b)^2.a}-2\sqrt{3^2.a}$

$=5\sqrt a - 4b.5a\sqrt{.a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a}$

$=5\sqrt{a}-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a}-6\sqrt{a}$

$=(5\sqrt{a}-6\sqrt{a})+(-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a}) =(5-6)\sqrt a=-\sqrt{a}$

$b. 5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}.$

Ta có:

$5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}$

$=5a\sqrt{8^2.b^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{2^2.3.(ab)^2.ab}\,+2ab\sqrt{3^2.ab}-5b\sqrt{9^2.a^2.ab}$

$=5a\sqrt{(8b)^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{(2ab)^2.3.ab}+2ab\sqrt{3^2.ab}\,-5b\sqrt{(9a)^2.ab}$

$=5a.8b\sqrt{ab}-\sqrt{3}.2\sqrt 3 ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}\,-5b.9a\sqrt{ab}$

$=40ab\sqrt{ab}-2.3ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$

$=40ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab} =40ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$

$=(40-45)ab\sqrt{ab} =-5ab\sqrt{ab}.$

Bài 60 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho biểu thức $B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}$ với $x\geq -1.$

a) Rút gọn biểu thức B;

b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16.

Gợi ý đáp án:

a) Ta có:

$B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}$

$= \sqrt{16(x+1)}-\sqrt{9(x+1)}+\sqrt{4(x+1)}+\sqrt{x+1}$

$= \sqrt{4^2(x+1)}-\sqrt{3^2(x+1)}+\sqrt{2^2(x+1)}+\sqrt{x+1}$

$= 4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}$

$=(4-3+2+1)\sqrt{x+1} =4\sqrt{x+1}.$

b) Ta có:

$B = 16 \Leftrightarrow 4\sqrt {x + 1} = 16$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = {{16} \over 4} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 4 \cr & \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} = {4^2} \cr & \Leftrightarrow x + 1 = 16 \cr & \Leftrightarrow x = 16 - 1 \cr & \Leftrightarrow x = 15(\text{thỏa mãn}\,x\ge -1) \cr}$

Vậy với x=15 thì B=16.

Bài 61 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh các đẳng thức sau:

a. $\dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt 6}{6}$

$b. \left( {x\sqrt {\dfrac{6}{x}} + \sqrt {\dfrac{2x}{3}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}=\dfrac{7}{3} với x > 0.$

Gợi ý đáp án:

a. $\dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt 6}{6}$

Biến đổi vế trái ta có:

$VT = \dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

$=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt 3}-4\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2}$

$=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt 2\sqrt 3}{\sqrt 3 .\sqrt 3}-4.\dfrac{\sqrt 3 .\sqrt 2}{\sqrt 2.\sqrt 2}$

$=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt 6}{3}-4\dfrac{\sqrt 6}{2}$

$=3\dfrac{\sqrt 6 .3}{2.3}+2\dfrac{\sqrt 6 .2}{3.2}-4\dfrac{\sqrt 6 .3}{2.3}$

$=9\dfrac{\sqrt 6}{6}+4\dfrac{\sqrt 6}{6}-12\dfrac{\sqrt 6}{6} =(9+4-12)\dfrac{\sqrt 6}{6}=\dfrac{\sqrt 6}{6}=VP.$

$b. \left( {x\sqrt {\dfrac{6}{x}} + \sqrt {\dfrac{2x}{3}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}=\dfrac{7}{3} với x > 0.$

Biến đổi vế trái ta có:

$VT = \left( {x\sqrt {\dfrac{6}{x}} + \sqrt {\dfrac{2x}{3}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}$

$\eqalign{ & = \left( {x\sqrt {{{6x} \over {{x^2}}}} + \sqrt {{{2x.3} \over {{3^2}}}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \cr & = \left( {x{{\sqrt {6x} } \over {\sqrt {{x^2}} }} + {{\sqrt {6x} } \over {\sqrt {{3^2}} }} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \cr & = \left( {x{{\sqrt {6x} } \over x} + {{\sqrt {6x} } \over 3} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \cr & = \left( {1.\sqrt {6x} + {1 \over 3}\sqrt {6x} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \cr & = \left( {1 + {1 \over 3} + 1} \right)\sqrt {6x} :\sqrt {6x} \cr & = {7 \over 3}\sqrt {6x} :\sqrt {6x} \cr & = \dfrac{7}{3} =VP.\cr}$

Giải bài tập toán 9 trang 33: Luyện tập

Bài 62 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

$a. \dfrac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\dfrac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\dfrac{1}{3}};$

Ta có:

$\dfrac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\dfrac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\dfrac{1}{3}}$

$=\dfrac{1}{2}\sqrt{16. 3}-2\sqrt{25. 3}-\dfrac{\sqrt{3.11}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{\dfrac{1.3+1}{3}}$

$=\dfrac{1}{2}\sqrt{4^2. 3}-2\sqrt{5^2. 3}-\dfrac{\sqrt 3.\sqrt{11}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{\dfrac{4}{3}}$

$=\dfrac{1}{2}.4\sqrt{ 3}-2.5\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\dfrac{\sqrt 4}{\sqrt 3}$

$=\dfrac{4}{2}\sqrt{ 3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\dfrac{\sqrt{4}.\sqrt 3}{\sqrt{3}.\sqrt {3}}$

$=2\sqrt{ 3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$=2\sqrt{ 3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+10\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$= \left( {2 - 10 - 1 + \dfrac{10}{3} }\right)\sqrt 3$

$=-\dfrac{17}{3}\sqrt 3.$

$b. \sqrt{150}+\sqrt{1,6}. \sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\dfrac{2}{3}}-\sqrt{6};$

Ta có:

$\sqrt{150}+\sqrt{1,6}. \sqrt{60}+4,5. \sqrt{2\dfrac{2}{3}}-\sqrt{6}$

$=\sqrt{25. 6}+\sqrt{1,6. 60}+4,5.\sqrt{\dfrac{2.3+2}{3}}-\sqrt{6}$

$=\sqrt{5^2. 6}+\sqrt{1,6. (6.10)}+4,5\sqrt{\dfrac{8}{3}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{ 6}+\sqrt{(1,6. 10).6}+4,5\dfrac{\sqrt 8}{\sqrt 3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{ 6}+\sqrt{16.6}+4,5\dfrac{\sqrt 8 . \sqrt 3}{ 3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{ 6}+\sqrt{4^2.6}+4,5\dfrac{\sqrt {8 .3}}{ 3}-\sqrt{6}$

$= 5\sqrt{6}+4\sqrt{ 6}+4,5. \dfrac{\sqrt{4.2. 3}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5. \dfrac{\sqrt{2^2.6}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5. 2\dfrac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+9\dfrac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+3\sqrt{6}-\sqrt{6}$

$=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6}.$

$c. (\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84};$

Ta có:

$=(\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84}$

$=(\sqrt{4.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{4.21}$

$=(\sqrt{2^2.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{2^2.21}$

$=(2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+2\sqrt{21}$

$= 2\sqrt{7}.\sqrt{7}-2\sqrt{3}.\sqrt{7}+\sqrt{7}.\sqrt{7}+2\sqrt{21}$

$=2.(\sqrt{7})^2-2\sqrt{3.7}+(\sqrt{7})^2+2\sqrt{21} =2.7-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}$

$=14-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21} =14+7=21.$

$d. (\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}.$

Ta có:

$(\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}$

$=(\sqrt 6)^2+2.\sqrt 6 .\sqrt 5+(\sqrt 5)^2-\sqrt{4.30} =6+2\sqrt{6.5}+5-2\sqrt{30}$

$=6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}=6+5=11.$

Bài 63 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn biểu thức sau:

$a. \sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}} với a>0 và b>0$

b. $\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4m^{2}}{81}} với m>0 và x\neq 1.$

Gợi ý đáp án

$a. \sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}} với a>0 và b>0$

Ta có:

$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}$

$=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt b}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt a}$

$=\dfrac{\sqrt{a}.\sqrt b}{(\sqrt b)^2}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{b}.\sqrt a}{(\sqrt a)^2}$

$=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{a} =\dfrac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$

$={\left(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}+\dfrac{\sqrt{ab}}{b} \right)}+\sqrt{ab} =\dfrac{2\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}$

$=\dfrac{2\sqrt{ab}}{b}+\dfrac{b\sqrt{ab}}{b} =\dfrac{2+b}{b}\sqrt{ab}.$

b. $\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4m^{2}}{81}} với m>0 và x\neq 1.$

Ta có:

$\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4mx^{2}}{81}} =\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m(1-2x+x^{2})}{81}}$

$=\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}.\dfrac{4m(1-2x+x^{2})}{81}} =\sqrt{\dfrac{m}{1}.\dfrac{4m}{81}}=\sqrt{\dfrac{4m^{2}}{81}}$

$=\sqrt{\dfrac{(2m)^2}{9^2}}=\dfrac{|2m|}{9}=\dfrac{2m}{9}.$

(vì m >0 nên |2m|=2m.)

Bài 64 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh các đẳng thức sau:

$a. \left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}= 1 với a ≥ 0 và a ≠ 1$

$b. \dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}} = \left| a \right| với a + b > 0 và b ≠ 0$

Gợi ý đáp án:

Biến đổi vế trái để được vế phải.

Ta có:

$VT=\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}$

$=\left ( \dfrac{1-(\sqrt{a})^3}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{(1-\sqrt a)(1+ \sqrt a)} \right )^{2}$

$=\left ( \dfrac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt a+(\sqrt a)^2)}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1}{1+ \sqrt a} \right )^{2}$

$=\left [ (1+\sqrt a+(\sqrt a)^2) +\sqrt{a}\right ]. \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2}$

$=\left [ (1+2\sqrt a+(\sqrt a)^2)\right ]. \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2} =(1+\sqrt a)^2. \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2}=1=VP.$

$b. \dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}} = \left| a \right| với a + b > 0 và b ≠ 0$

Ta có:

$VT=\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}$

$=\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{(ab^2)^2}{(a+b)^2}} =\dfrac{a+b}{b^{2}}\dfrac{\sqrt{(ab^2)^2}}{\sqrt{(a+b)^2}}$

$=\dfrac{a+b}{b^{2}}\dfrac{|ab^2|}{|a+b|} =\dfrac{a+b}{b^{2}}.\dfrac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP$

Vì $a+b > 0 \Rightarrow |a+b|=a+b.$

Bài 65 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết:

$M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1} với a > 0 và a \ne 1.$

Gợi ý đáp án:

Ta có:

$M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}$

$={\left(\dfrac{1}{\sqrt a .\sqrt a -\sqrt a .1}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a)^2 -2\sqrt a+1}$

$={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}$

$={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}$

$=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}$

$=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} . \dfrac{(\sqrt a -1)^2}{\sqrt a +1}$

$=\dfrac{1}{\sqrt a} . \dfrac{\sqrt a -1}{1}=\dfrac{\sqrt a -1}{\sqrt a}. =\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a}-\dfrac{1}{\sqrt a} =1 -\dfrac{1}{\sqrt a}$

Vì a > 0 $\Rightarrow \sqrt a > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt a} > 0 \Rightarrow 1 -\dfrac{1}{\sqrt a} < 1.$

Vậy M < 1.

Bài 66 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1)

Giá trị của biểu thức $\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$ bằng:

$(A) \dfrac{1}{2};$

(B) 1;

(D) 4.

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Gợi ý đáp án:

Ta có:

$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$

$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt 3)^2}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt 3)^2}$

$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}$

$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{1} =2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4.$

Chọn đáp án (D). 4

Lý thuyết Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

I. Kiến thức về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Khi thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta phải vận dụng mọi quy tắc và mọi tính chất của các phép tính trên các số thực nói chung và trên các căn thức nói riêng như:

- Phép nhân, phép chia các căn bậc hai;

- Phép khai phương một tích, một thương;

- Phép đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn;

- Phép khử mẫu của biểu thức dưới căn;

- Phép trục căn thức ở mẫu.

Nói riêng, khi làm tính cộng hoặc trừ trên các căn thức, ta thường dùng các phép đưa thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn để được những căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn rối áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.

II. Một số dạng toán thường gặp rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

- Vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đã biết và tính toán để xuất hiện các căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn

- Cộng, trừ, nhân, chia các căn thức bậc hai cùng loại với nhau.

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

Vận dụng thích hợp các phép biến đổi đã học và các hằng đẳng thức đáng nhớ, các cách phân tích đa thức thành nhân tử để thực hiện phép chứng minh.

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán liên quan.

Phương pháp:

- Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để rút gọn.

- Các bài toán liên quan :

+) Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến, giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm biến.

+) Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên

+) So sánh biểu thức với một số

+) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản.

Các công thức biến đổi căn thức

$1. \quad \sqrt{A^{2}}=|A|=\left\{\begin{array}{l}A \text { nếu } \mathrm{A} \geq 0 \\ -A \text { nếu } \mathrm{A}<0\end{array}\right.$

$2. \quad \sqrt{A B}=\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} (Với A \geq 0 ; B \geq 0 )$

$3. \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ (Với A ≥ B> 0)

$4. \quad \sqrt{A^{2} B}=|A| \sqrt{B} \quad (Với B \geq 0 )$

$5. A \sqrt{B}=\sqrt{A^{2} B}$ (Với $A \geq 0$ ; $B \geq 0$ )

$6. A \sqrt{B}=-\sqrt{A^{2} B}$ (Với A<0 ; $B \geq 0$ )

$7. \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|} \sqrt{A B} \quad (Với A \geq 0 ; B>0 ) \begin{array}{ll}\text { 8. } \frac{A}{\sqrt{B}} & =\frac{A \sqrt{B}}{B} & \text { (Với } B>0 \text { ) }\end{array}$

$9 \quad \frac{C}{\sqrt{A} \pm B}=\frac{C(\sqrt{A} \pm B)}{A-B^{2}} \quad (Với A \geq 0 ; \mathrm{A} \neq \mathrm{B}^{2} )$

$10 \quad \frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A} \pm \sqrt{B})}{A-B} \quad (Với \left.A \geq 0 ; B \geq 0 ; \mathrm{A} \neq \mathrm{B}\right)$

$11 (\sqrt[3]{A})^{3}=\sqrt[3]{A^{3}}=A$

* Cách tìm điều kiện trong bài toán chứa căn thức

$1. \sqrt{A} \quad Đ K X Đ: A \geq 0 \quad Ví dụ: \sqrt{x-2018} \quad ĐKXĐ: \quad x \geq 2018$

$2. \frac{A}{B} \quad \boxminus K X Đ: B \neq 0 \quad Ví dụ: \frac{x+4}{x-7} \quad ĐKXĐ: x \neq 7$

$3. \frac{A}{\sqrt{B}} \quad \boxminus K X Đ: B>0 \quad Ví dụ: \frac{x+1}{\sqrt{x-3}} \quad ĐKXĐ: \quad x>3$

$4. \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \quad ĐKXĐ: A \geq 0 ; B>0 \quad$ Ví dụ: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-3}} \quad ĐKXĐ: \quad\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x>3\end{array} \Leftrightarrow x>3\right.$

$5. \sqrt{\frac{A}{B}} \quad ĐKXĐ: \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}A \leq 0 \\ B<0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B>0\end{array} \quad \text { Ví dụ: } \sqrt{\frac{x+1}{x+2}}\right.\end{array} \quad\right. ĐXĐ: \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+1 \leq 0 \\ x+2<0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x+1 \geq 0 \\ x+2>0\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x<-2 \\ x \geq 1\end{array}\right.\right.$

Cho a >0 ta có:

6. $x^{2}>a \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\sqrt{a} \\ x<-\sqrt{a}\end{array} \quad\right.$ Ví dụ: $x^{2}>1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\sqrt{a} \\ x<-\sqrt{a}\end{array}\right.$