Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 115, 116 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thuộc chương 2 Hình học 9.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1 trang 115, 116. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Chương 2 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.

Lý thuyết Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

1. Định lí:

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

• Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm.
• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

2. Đường tròn nội tiếp:

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, cón tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao ba đường phân giác của tam giác đó.

3. Đường tròn bàng tiếp tam giác

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác góc ngoài tại B(hoặc C). Với một tam giác , có ba đường tròn bàng tiếp.

Giải bài tập toán 9 trang 115, 116 tập 1

Bài 26 (trang 115 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB = 2cm, OA = 4cm.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa:

a) Ta có: AB = AC (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Nên ΔABC cân tại A.

Lại có AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ BC. (trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)

b) Gọi I là giao điểm của AO và BC. Suy ra BI = IC (đường kính vuông góc với một dây).

Xét ΔCBD có :

CI = IB

CO = OD (bán kính)

⇒ BD//OI (OI là đường trung bình của tam giác BCD).

Vậy BD//AO.

c) Theo định lí Pitago trong tam giác vuông OAC:

AC² = OA² – OC² = 4² – 2² = 12

=> AC = √12 = 2√3 (cm)

Vậy AB=AC=BC=cm

Nhận xét. Qua câu c) ta thấy: Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng

Bài 27 (trang 115 SGK Toán 9 Tập 1)

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.

Gợi ý đáp án

Bài 28 (trang 116 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào?

Gợi ý đáp án

Bài 29 (trang 116 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.

Gợi ý đáp án

Đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax và Ay nên tâm O của (O) nằm trên tia phân giác của góc xAy.

Do đó ta có cách dựng:

- Dựng tia phân giác At của góc xAy.

- Dựng đường thẳng Bz qua B và vuông góc với tia Ax.

- Giao điểm O của At và Bz là tâm của đường tròn cần dựng.

- Dựng đường tròn tâm O, bán kính R = OB, ta được đường tròn cần dựng.

Giải bài tập toán 9 trang 116 tập 1: Luyện tập

Bài 30 (trang 116 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:

a) ∠COD = 90^o

b) CD = AC + BD

c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.

Gợi ý đáp án

Theo bài ra ta vẽ được hình sau:

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

OC là tia phân giác của ∠AOM

OD và tia phân giác của ∠BOM

OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù ∠AOM và ∠BOM nên OC ⊥ OD.

=> ∠COD = 90^o (đpcm)

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

CM = AC, DM = BC

Do đó: CD = CM + DM = AC + BD (đpcm)

c) Ta có: AC = CM, BD = DM nên AC.BD = CM.MD

ΔCOD vuông tại O, ta có:

CM.MD = OM² = R² (R là bán kính đường tròn O).

Vậy AC.BD = R² (không đổi).

Bài 31 (trang 116 SGK Toán 9 Tập 1)

Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O).

Gợi ý đáp án

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

BD = BE, CE = CF, AD = AF

Ta có:

AB + AC – BC = (AD + BD) + (AF + FC) – (BE + EC)

= (AD + AF) + (DB – BE) + (FC – EC)

= AD + AF = 2AD.

Vậy 2AD = AB + AC – BC (đpcm)

b) Tương tự ta tìm được các hệ thức:

2BE = BA + BC – AC

2CF = CA + CB – AB

Bài 32 (trang 116 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính 1cm. Diện tích của tam giác ABC bằng:

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình

Gọi (O) là đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC và H là tiếp điểm thuộc AB.

Khi đó OH=1 là bán kính của (O)

Ta có: CH AB

Trong tam giác đều ABC, đường cao CH cũng là đường trung tuyến.

Vì tam giác ABC đều nên O cũng là trọng tâm tam giác.

Theo tính chất đường trung tuyến, ta có:

Vì tam giác ABC đều nên

Xét tam giác CHB, vuông tại H, . Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

Suy ra

Do đó diện tích tam giác ABC là

Ta chọn (D).