Giải hệ phương trình bậc cao

Giải hệ phương trình bậc cao là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi môn Toán lớp 9.

Cách giải hệ phương trình bậc cao tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách tính kèm theo ví dụ minh họa và một số bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất.

I. Cách giải hệ phương trình bậc cao
II. Ví dụ giải hệ phương trình bậc cao
III. Bài tập tự luyện giải phương trình bậc cao

I. Cách giải hệ phương trình bậc cao

Phương pháp: Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số hoặc đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình.

II. Ví dụ giải hệ phương trình bậc cao

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {8{x^3}{y^3} + 27 = 18{y^3}} \\ {4{x^2}y + 6x = {y^2}} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải

Hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {8{x^3}{y^3} + 27 = 18{y^3}{\text{ }}\left( 1 \right)} \\ {4{x^2}y + 6x = {y^2}{\text{ }}\left( 2 \right)} \end{array}} \right.$

Với y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình (1) cho y³, phương trình (2) cho y² ta được:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {8{x^3} + \dfrac{{27}}{{{y^3}}} = 18} \\ {4\dfrac{{{x^2}}}{y} + 6.\dfrac{x}{{{y^2}}} = 1} \end{array}} \right.$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = a} \\ {\dfrac{3}{y} = b} \end{array}} \right.$ hệ phương trình trở thành $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^3} + {b^3} = 18} \\ {{a^2}b + a{b^2} = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 3} \\ {ab = 1} \end{array}} \right.$

a, b là nghiệm của hệ phương trình T² – 3T + 1 = 0

Từ đó suy ra hệ phương trình có hai nghiệm

$\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{4};\frac{{3 + \sqrt 5 }}{6}} \right) = \left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{4};\frac{{3 - \sqrt 5 }}{6}} \right)$

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 2xy + x - 2y + 3 = 0} \\ {{y^2} - {x^2} + 2xy + 2x - 2 = 0} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 2xy + x - 2y + 3 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)} \\ {{y^2} - {x^2} + 2xy + 2x - 2 = 0{\text{ }}\left( 2 \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^2} - 4xy + 2x - 4y + 6 = 0} \\ {{y^2} - {x^2} + 2xy + 2x - 2 = 0} \end{array}} \right.$

Cộng hai vế của hệ phương trình ta được:

x² + y² – 2xy + 4x – 4y + 4 = 0

<=> (x – y + 2)² = 0

<=> y = x + 2

Thay vào phương trình (1) ta được: x² + 5x + 1 = 0 => $x = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {21} }}{2}$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{ - 5 - \sqrt {21} }}{2};\frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}} \right) = \left( {\frac{{ - 5 + \sqrt {21} }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {3 + 2x} + \sqrt {3 - 2y} = x + 4} \\ {\sqrt {3 + 2x} - \sqrt {3 - 2y} = x} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $x \geqslant \frac{{ - 3}}{2};y \leqslant \frac{3}{2}$

Trừ từng vế của hai phương trình của hệ ta được phương trình:

$\sqrt {3 - 2y} = 2 \Rightarrow 3 - 2y = 4 \Rightarrow y = \frac{{ - 1}}{2}\left( {tm} \right)$

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ đã cho ta được phương trình:

$\sqrt {3 + 2x} = x + 2 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = - 1\left( {tm} \right)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

$\left( {x;y} \right) = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right)$

Ví dụ 4 Giải các hệ phương trình sau

$a) \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{{y}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\\sqrt{x\left( 1-2x \right)}+\sqrt{y\left( 1-2y \right)}=\frac{2}{9}\end{array} \right.$

$b) \left\{ \begin{array}{l}x\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)+{{x}^{2}}=2\sqrt{{{\left( x-{{y}^{2}} \right)}^{3}}}\\76{{x}^{2}}-20{{y}^{2}}+2=\sqrt[3]{4x\left( 8x+1 \right)}\end{array} \right.$

Giải
a) Điều kiện: $0\le x,y\le \frac{1}{2}.$

Đặt $a=\sqrt{2}x,b=\sqrt{2}y;a,b\in \left[ 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right].$

Ta có: $VT=\frac{1}{\sqrt{1+{{a}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+{{b}^{2}}}}\le \sqrt{2\left( \frac{1}{1+{{a}^{2}}}+\frac{1}{1+{{b}^{2}}} \right)}.$

Ta sử dụng bổ đề với a,b>0 và $ab\le 1$ ta có bất đẳng thức:

$\frac{1}{1+{{a}^{2}}}+\frac{1}{1+{{b}^{2}}}\le \frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow \frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}\left( ab-1 \right)}{\left( 1+ab \right)\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)}\le 0 (đúng).$

Vậy $VT\le \frac{2}{\sqrt{1+ab}}=VP.$

Đẳng thức xảy ra khi x=y. Thay vào (2) ta tìm được nghiệm của phương trình.

Nghiệm của hệ $\left( x;y \right)=\left( \frac{9-\sqrt{73}}{36};\frac{9-\sqrt{73}}{36} \right),\left( \frac{9+\sqrt{73}}{36};\frac{9+\sqrt{73}}{36} \right).$

b) Điều kiện: $x\ge {{y}^{2}}\ge 0.$

Phương trình (1) tương đương: ${{x}^{3}}+x\left( x-{{y}^{2}} \right)-2\sqrt{{{\left( x-{{y}^{2}} \right)}^{3}}}=0.$

Đặt $\sqrt{x-{{y}^{2}}}=u$ phương trình (1) thành:

$\displaystyle {{x}^{3}}+x{{u}^{2}}-2{{u}^{3}}=0\Leftrightarrow x=u\Leftrightarrow {{y}^{2}}=x-{{x}^{2}}$

Thay vào (2) ta được: $96{{x}^{2}}-20x+2=\sqrt[3]{32{{x}^{2}}+4x}.$

Ta có $96{{x}^{2}}-20x+2=\sqrt[3]{32{{x}^{2}}+4x}=\sqrt[3]{1.1.\left( 32{{x}^{2}}+4x \right)}\le \frac{32{{x}^{2}}+4x+2}{3}$

$\Leftrightarrow 3\left( 96{{x}^{2}}-20x+2 \right)\le 32{{x}^{2}}+4x+2\Leftrightarrow {{\left( 16x-2 \right)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{7}}{8}$

Từ đó ta có các nghiệm của hệ là: Vậy hệ có nghiệm $\left( x;y \right)=\left( \frac{1}{8};\pm \frac{\sqrt{7}}{8} \right).$

III. Bài tập tự luyện giải phương trình bậc cao

Câu 1: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+xy-5x+y+2=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}\\{{x}^{2}}-y-1=\sqrt{4x+y+5}-\sqrt{x+2y-2}\end{array} \right.$