Công thức tính diện tích lục giác đều

Diện tích lục giác đều là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi lớp 8.

Công thức tính diện tích lục giác đều tổng hợp toàn bộ kiến thức về khái niệm, đặc điểm công thức tính, ví dụ minh họa kèm theo một số bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong các kì thi sắp tới. Ngoài ra để nâng cao kỹ năng giải toán các bạn xem thêm tài liệu: bài tập hằng đẳng thức lớp 8, bài tập phân tích đa thức thành nhân tử.

Diện tích lục giác đều

I. Lục giác đều là gì?
II. Công thức tính diện tích lục giác đều
III. Cách tính diện tích hình lục giác đều
IV. Cách vẽ hình lục giác đều
V. Bài tập tính diện tích lục giác đều

I. Lục giác đều là gì?

Nếu sáu cạnh có chiều dài bằng nhau, nó được gọi là một hình lục giác sáu cạnh đều. Chỉ khi tất cả các góc có cùng kích thước, và các cạnh bằng nhau, mới gọi là lục giác đều. Một hình khối với hai đáy hình lục giác gọi là lục lăng.

*Đặc điểm hình lục giác đều

– Tổng số đo ở đỉnh là (n.180^o – 360^o) = 180^o.(n-2) mà n là số cạnh của đa giác đều. Vậy độ lớn của góc ở đỉnh là:

$180^0.\frac{n-2}{n}$

– Các cạnh bằng nhau và các góc ở đỉnh bằng nhau.

– Gọi R và r là bán kính của đường tròn ngoại và nội tiếp của đa giác đều, gọi cạnh của đa giác đều là a , thì ta có:

$a=2.R.\sin\left(\frac{360^0}{2}.n\right)=2.r.\tan\left(\frac{360^0}{2}.n\right)$

– Các cạnh của nó dài đúng bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp.

– Nếu nối tâm đường tròn ngoại (và nội) tiếp với các đỉnh của lục giác thì ta sẽ có 6 tam giác đều.

– Tâm của đường tròn ngoại (và nội) tiếp là tâm đối xứng quay (tỏa tròn).

II. Công thức tính diện tích lục giác đều

Công thức tính diện tích hình lục giác: Muốn tính diện tích của hình lục giác thường, ta có thể chia hình lục giác thành 4 hình tam giác, tính tổng diện tích của các tam giác đó là tìm ra diện tích của hình lục giác.

- Công thức tính diện tích hình lục giác đều:

$S=\ \frac{3\sqrt{3}.\ a^2}{2}$

Trong đó:

- S là kí hiệu diện tích.

- a là độ dài cạnh của lục giác.

III. Cách tính diện tích hình lục giác đều

1. Tính diện tích hình lục giác đều khi biết độ dài một cạnh

- Trường hợp đề bài cho sẵn độ dài một cạnh:

Đối với trường hợp này bạn chỉ cần thay số mà đề bài đã cho vào công thức tính diện tích.

- Trường hợp xác định độ dài qua chu vi (P):

Bạn sẽ thông qua công thức P = 6 x a => a = P : 6 để tìm cạnh của một hình lục giác đều bất kỳ. Sau khi xác định được chiều dài của cạnh bạn chỉ cần thay vào công thức tính diện tích.

Tính diện tích hình lục giác đều khi biết đường trung đoạn

Trung đoạn là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ tâm của lục giác đều đến một cạnh bất kỳ của nó.

2. Tính diện tích hình lục giác không đều khi biết các đỉnh

- Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của đa giác không đều.

Bạn hãy xác định tọa độ của tất cả các đỉnh lục giác bằng hệ trục tọa độ x, y. Khi biết tọa độ các đỉnh của một hình lục giác thì bạn sẽ dễ dàng tính được diện tích của nó.

- Bước 2: Tạo bảng giá trị tọa độ.

Bạn hãy lập một bảng liệt kê tọa độ x, y của mỗi đỉnh theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ và lặp lại giá trị đầu tiên ở cuối bảng.

- Bước 3: Tính nhóm kết quả (1)

Lấy tọa độ x của đỉnh trước nhân với giá trị y của đỉnh tiếp theo rồi cộng các tích lại với nhau.

- Bước 4: Tính nhóm kết quả hai (2)

Ngược với bước 3, tại bước này ta sẽ lấy tọa độ y của đỉnh trước nhân với tọa độ x của đỉnh tiếp theo rồi lấy tổng các tích.

- Bước 5: Lấy tổng các tích của nhóm (1) trừ đi tổng các tích của nhóm (2) sau đó lấy trị tuyệt đối của kết quả.

- Bước 6: Tính diện tích của lục giác không đều.

Thương của kết quả ở bước năm chia cho hai sẽ là diện tích của lục giác không đều.

IV. Cách vẽ hình lục giác đều

Có nhiều cách vẽ hình lục giác đều mà bạn có thể tham khảo sau đây:

Cách 1: Ta vẽ đường tròn, trong hình tròn vẽ đường kính lấy 2 điểm của đường kính nằm trên đường tròn vẽ 2 cung có bán kính bằng bán kính hình tròn lúc đầu các điểm giao nhau của các hình tròn và hai đầu của đường kính là 6 điểm của hình lục giác đều.

Cách 2: Bạn có thể vẽ lục giác đều với độ dài cạnh cho trước như sau: Lấy số đo độ dài của cạnh lục giác đều làm bán kính để vẽ 1 đường tròn sau đó đặt liên tiếp các dây cung dài bằng bán kính đó lên đường tròn vừa vẽ được (Đặt được 6 dây cung bằng nhau liên tiếp), các mút chung của 2 dây liên tiếp lần lượt chính là các đỉnh của lục giác đều có độ dài cạnh cho trước.

Cách 3: Bạn hãy vẽ ra 1 tam giác đều rồi sau đó vẽ cho nó 1 đường tròn ngoại tiếp từ 1 đỉnh của tam giác kéo dài qua tâm đường tròn cắt đường tròn tại 1 điểm nữa (điểm A). Từ điểm A này vẽ 1 tam giác đều có đường cao là đường kéo dài qua tâm hồi nãy.

Cách 4: Bạn vẽ 1 đường tròn (C) bán kính bất kì, đặt tâm compa nằm trên đường tròn (C), quay các dg tròn đồng tâm với (C) cắt (C) tại các điểm là đỉnh lục giác cần tìm. Tâm của đường tròn sau là giao điểm của đường tròn trước với (C).

V. Bài tập tính diện tích lục giác đều

Bài 1: Cho lục giác lồi ABCDEF biết rằng mỗi đường chéo AD,BE,CF chia nó thành 2 phần có diện tích bằng nhau.Gọi M,N lần lượt là giao của EB với AC và FD, P và Q lần lượt là giao của AD với BF và CE.CMR:

a) PM song song với NQ.

b) AD,BE,CF đồng quy.

Bài 2: CMR nếu ngũ giác có các góc bằng nhau và nội tiếp 1 đường tròn thì ngũ giác ấy đều.

Bài 3: Các cạnh đối diện AB và DE,BC và EF,CD và FA của lục giác ABCDEF song song. CMR diện tích tam giác ACE=diện tích tam giác BDF.

Bài 4: Cho lục giác ABCDEF có các cạnh đối song song.

a) CMR diện tích tam giác ACE lớn hơn hoặc bằng 1 nửa diện tích ABCDEF.

b) CMR nếu lúc giác có các góc bằng nhau thì hiệu các cạnh đối diện bằng nhau.

Bài 5: Cho ngũ giác lồi ABCDE có tam giác ABC và CED đều.Gọi O là tâm của tam giác ABC.M và N lần lượt là trung điểm của BD và AE.CMR tam giác OME và tam giác OND đồng dạng.