Công thức Nguyên hàm

Công thức nguyên hàm hay bảng bảng nguyên hàm là một chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia môn Toán.

Hãy cùng Download.vn tham khảo bài viết dưới đây để nắm vững tất cả kiến thức về khái niệm bảng nguyên hàm cũng như các công thức nguyên hàm cơ bản. Qua tài liệu này các em nhanh chóng nắm vững được kiến thức để giải nhanh các bài Toán. Ngoài ra các em tham khảo thêm bảng đạo hàm.

I. Khái niệm công thức nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Kí hiệu: ∫ f(x)dx = F(x) + C.

Định lí 1:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x) + C; C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

II. Tính chất của nguyên hàm

(∫ f(x)dx)' = f(x) và ∫ f'(x)dx = f(x) + C.
Nếu F(x) có đạo hàm thì: ∫d(F(x)) = F(x) + C).
∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx với k là hằng số khác 0.
∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫g(x)dx.

III. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

IV. Bảng nguyên hàm

$1.\int 0 d x=C \quad$

$2. \int d x=x+C$

$3. \int x^{\alpha} d x=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)$

$4. \int \frac{1}{x^{2}} d x=-\frac{1}{x}+C$

$5. \int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$

$6. \int e^{x} d x=c^{x}+C$

$7. \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$

$8. \int \cos x d x=\sin x+C$

$9. \int \sin x d x=-\cos x+C$

$10. \int \tan x . d x=-\ln |\cos x|+C$

$11. \int \cot x . d x=\ln |\sin x|+C$

$12. \int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C$

$13. \int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C$

$14. \int\left(1+\tan ^{2} x\right) d x=\tan x+C$

$15. \int\left(1+\cot ^{2} x\right) d x=-\cot x+C$

$\int \ln (a x+b) \mathrm{d} \mathrm{x}=\left(x+\frac{b}{a}\right) \ln (a x+b)-x+C$

$\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{dx}=\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a}+C$

$16. \int(a x+b)^{\alpha} \mathrm{d} \mathrm{x}=\frac{1}{a} \frac{(a x+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c, \alpha \neq-1$

$17. \int x d x=\frac{x^{2}}{2}+C$

$18. \int \frac{\mathrm{dx}}{a x+b}=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+c$

$19. \int c^{a x+b} d x=\frac{1}{a} c^{a x+b}+C$

$20. \int a^{k x+b} d x=\frac{1}{k} \frac{a^{k x+b}}{\ln a}+C$

$21. \int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C$

$22. \int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C$

$23. \int \tan (a x+b) \mathrm{dx}=-\frac{1}{a} \ln |\cos (a x+b)|+C$

$24. \int \cot (a x+b) \mathrm{dx}=\frac{1}{a} \ln |\sin (a x+b)|+C$

$25. \int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C$

$26. \int \frac{1}{\sin ^{2}(a x+b)} d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C$

$27. \frac{\int\left(1+\tan ^{2}(a x+b)\right) d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C}{}$

$28. \frac{\int\left(1+\cot ^{2}(a x+b)\right) d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C}{\int c^{a x} \cos b x \mathrm{dx}=\frac{c^{a x}(a \cos b x+b \sin b x)}{a^{2}+b^{2}}+C}$

$\int e^{a x} \sin b x \mathrm{dx}=\frac{c^{\operatorname{ax}}(a \sin b x-b \cos b x)}{a^{2}+b^{2}}+C$

V. Một số phương pháp tìm nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến

1.1. Đổi biến dạng 1

a. Định nghĩa.

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: ∫ f(u)du = F(u) + C thì:

∫ f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

b. Phương pháp giải

Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.

Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.

Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Bước 4: Khi đó: I = ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

1.2. Phương pháp đổi biến loại 2

a. Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) liên tục trên K; x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Khi đó, ta có:

∫ f(x)dx = ∫ f[φ(t)].φ'(t)dt

b. Phương pháp chung

Bước 1: Chọn x = φ( t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.

Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.

Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Bước 4: Khi đó tính: ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

c. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp


$\sqrt{a^{2}-x^{2}}$	Đặt $x=\|a\| \sin t; với t \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ hoặc $x=\|a\| cost ; với t \in[0 ; \pi]$
$\sqrt{x^{2}-a^{2}}$	Đặt $x=\frac{\|a\|}{\sin t}$ ; với $t \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] \backslash\{0\}$ hoặc $x=\frac{\|a\|}{\cos t}$ ; với $t \in[0 ; \pi] \backslash\left\{\frac{\pi}{2}\right\}$
$\sqrt{a^{2}+x^{2}}$	Đặt x=\|a\| tant ; với $t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)$ hoặc $x=\|a\| \cot t ; với t \in(0 ; \pi)$
$\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$ hoặc $\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}$	Đặt $\mathrm{x}=\operatorname{acos} 2 \mathrm{t}$
$\sqrt{(x-a)(b-x)}$	Đặt $\mathrm{x}=\mathrm{a}+(\mathrm{b}-\mathrm{a}) \sin ^{2} \mathrm{t}$
$\frac{1}{a^{2}+x^{2}}$	Đặt $\mathrm{x}=\mathrm{a} . tant ;$ với $t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)$