Chuyên đề ôn thi vào 10 môn Toán

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán tóm tắt toàn bộ kiến thức cần nắm, các dạng bài toán thường gặp kèm theo một số bài tập thực hành.

Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán được trình bày rất khoa học, logic giúp người học dễ hình dung và hiểu rõ kiến thức. Tài liệu này thích hợp với cả các bạn thi vào lớp 10 các trường chuyên hay không chuyên trong cả nước. Vì thế, khi giải được tất cả các bài toán dưới đây các bạn sẽ có được kết quả như mong đợi. Bên cạnh đó các em tham khảo thêm các dạng bài tập Toán 9 ôn thi vào lớp 10, bộ 45 đề thi vào lớp 10 môn Toán.

Chuyên đề ôn thi vào 10 môn Toán

Chuyên đề 1

RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

A. Kiến thức cần nhớ

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai ta vận dụng thích hợp các phép tính về căn thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai. Khi phối hợp các phép biến đổi căn thức với các biến đổi biểu thức có dạng phân thức cần chú ý :

- Trước tiên cần tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) đối với căn thức cũng như đối với phân thức.

$\sqrt{\mathrm{A}}$ có nghīa khi $\mathrm{A} \geq 0.$

Ví dụ, $\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$

$\left\{\begin{array}{l}x+2 \geq 0 \\ x-1 \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq-2 \\ x \neq 1\end{array}\right.\right.$

- Điều kiện để bỏ dấu giá trị tuyệt đối :

$\sqrt{\mathrm{A}^2}=|\mathrm{A}|=\left\{\begin{array}{l} \mathrm{A} \text { néu } \mathrm{A} \geq 0 \\ -\mathrm{A} \text { néu } \mathrm{A}<0 \end{array}\right.$

- Kết quả rút gọn để ở dạng nào là tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán.

Ví dụ : Sau khi thực hiện các phép tính và rút gọn kết quả được

$\mathrm{P}=\frac{\mathrm{x}-4 \sqrt{\mathrm{x}}+3}{\mathrm{x}-1} \text { (mẫu thức không chứa dấu căn). }$

Ta cấn nút gọn tiếp

$\left.P=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x+1})}=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1} \text { (với điều kiện } x \neq 1\right) \text {. }$

Đến đây có thể giải tiếp được những câu hỏi tiếp theo, như tìm x để :

- P có giá trị dương ;

- P có giá trị bằng k :

- P có giá trị nhỏ nhất,...

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Rút.gọn biểu thức $A=\sqrt{4-2 \sqrt{3}}-\sqrt{7+4 \sqrt{3}}$ .

Giải

$\begin{aligned} A & =\sqrt{3-2 \sqrt{3}+1}-\sqrt{4+4 \sqrt{3}+3} \\ & =\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}-\sqrt{(2+\sqrt{3})^2} \\ & =|\sqrt{3}-1|-|2+\sqrt{3}| \\ & =\sqrt{3}-1-(2+\sqrt{3})=-3 . \end{aligned}$

Nhận xét : Các biểu thức $4-2 \sqrt{3} ; 7+4 \sqrt{3}$ đều có dạng $\mathrm{m} \pm \mathrm{p} \sqrt{\mathrm{n}}$ trong đó $\mathrm{p} \sqrt{\mathrm{n}}=2 \mathrm{ab}$ với $\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2=\mathrm{m}$ . Những biểu thức như vậy đều viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức.

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức $\mathrm{B}=\sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\sqrt{5-2 \sqrt{6}}.$

Giải

Cách thứ nhất :

$\begin{aligned} B & =\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}-\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} \\ & =|\sqrt{3}+\sqrt{2}|-|\sqrt{3}-\sqrt{2}|=\sqrt{3}+\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2 \sqrt{2} . \end{aligned}$

Cách thứ hai

$B=\sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\sqrt{5-2 \sqrt{6}}$

Ta có : $B^2=5+2 \sqrt{6}+5-2 \sqrt{6}-2 \sqrt{(5+2 \sqrt{6})(5-2 \sqrt{6})}$

$=10-2 \sqrt{1}=8 \text {. }$

Vì B>0 nén $B=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}.$

Nhận xét : Các biểu thức $5+2 \sqrt{6}$ và $5-2 \sqrt{6}$ là hai biểu thức liên hợp. Gập những biểu thức như vậy, để tính B ta có thể tính $\mathrm{B}^2$ trước rồi sau đó suy ra B.