Cách dồn biến chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp dồn biến chứng minh bất đẳng thức là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo.

Dồn biến chứng minh bất đẳng thức là một trong những cách chứng minh bất đẳng thức hay. Tài liệu bao gồm 60 trang tổng hợp cách giải và các dạng bài tập trọng tâm có đáp án kèm theo. Hi vọng qua tài liệu này giúp các bạn lớp 12 học tập chủ động, nâng cao kiến thức để đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia sắp tới. Nội dung trong tài liệu bao gồm các kiến thức cơ bản như:

Dồn biến bằng kỹ thuật hàm số
Bất đẳng thức 3 biến với cực trị đạt được tại biên
Bất đẳng thức 4 biến
Dồn biến bằng hàm lồi
Dồn biến về giá trị trung bình
Định lý dồn biến tổng quát
Nhìn lại
Bài tập

Phương pháp dồn biến chứng minh bất đẳng thức

Các bạn thân mến, rất nhiều trong số các BĐT mà ta đã gặp có dấu đẳng thức khi các biến số bằng nhau. Một ví dụ kinh điển là

Ví dụ 1: (BĐT Cauchy) Cho x, y, z>0 thì x $+y+z \geq 3 \sqrt[3]{x y z}.$

Có thể nói số lượng BĐT như vậy nhiều đến nói nhiều bạn sẽ thấy điều đó là ... hiển nhiên. Tắt nhiên, không hẳn như vậy. Tuy nhiên, trong trường hợp đảng thức không xảy ra khi tất cả các biến bằng nhau thì ta lại rất thường rơi vào một trường hợp khác, tổng quát hơn: đó là có một số (thay vì tất cả) các biến bằng nhau. Ở đây chúng tồi dẫn ra một ví dụ sẽ được chứng minh ở phần sau.

Ví dụ 2: (VMO) Cho $x, y, z \in R, x^2+y^2+z^2=9$ . Thì

$2(x+y+z)-x y z \leq 10$

Trong $\mathrm{BET}$ này thì dấu " =" xảy ra khi x=y=2, z=-1 (và các hoán vi).

Có thể nhiều bạn sẽ ngạc nhiên khi biết rằng còn có những bất đẳng thức mà dấu "=" xảy ra khi các biến đều khác nhau. Ví dụ sau đây cũng sẽ được chứng minh ở phần sau.

Ví dụ 3: (Jackgarfukel) Cho a, b, c là 3 số thực không âm và có tối đa một số bà̀ng 0 . Thì ta luôn có:

$\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}} \leq \frac{5}{4} \sqrt{a+b+c}$

Ở đây, dấu đẳng thức xảy ra khi a=3 b>0, c=0 (và các dạng hoán vị). Các bạn có thể tự hỏi là các giá trị chẳng hạn như (3,1,0) có gì đặc biệt mà làm cho đå̉ng thức xảy ra. Một cách trực giác, ta thấy dường như điểm đặc biệt đó là do có một biến bằng 0 . Vì giả thiết là các biến không âm, nền biến bằng 0 còn được gọi là biến có giá trị trên biên.

2. BĐT 3 biến với cực trị đạt được đối xứng.

Xin phác họa lại tư tường của chúng ta như sau. Bài toán của chúng ta sẽ có dạng $f(x, y, z) \geq 0$ với x, y, z là các biến số thực thỏa mãn các tính chất nào đấy. Điều chúng ta mong muốn là sẽ có đánh giá $f(x, y, z) \geq f(t, t, z)$ với t là một đại lượng thích hợp tùy theo mỗi liên hệ giữa x, y, z (ta sẽ gọi đây là kỉ thuật dồn về 2 biến bằng nhau). Sau đó chúng ta kiểm tra $f(t, t, z) \geq 0$ đế hoàn tất chứng minh. Lưu ý rằng nếu các biến đã được chuẩn hóa thì bước cuối chỉ là bài toán với một biến.

Trong mục này, chúng ta sẽ chỉ xem xét các ví dụ cơ bản nhất.

Bài toán 1. (BĐT Cauchy) Cho x, y, z>0, chứng minh rằng

$x+y+z \geq 3 \sqrt[3]{x y z}$

Lời giải:

Vì BĐT là đồng bậc nên bằng cách chuẩn hóa ta có thể giả sử $x+y+z=1 \left({ }^*\right).$ Viết lại bài toán dưới dạng $f(x, y, z) \geq 0 với f(x, y, z)=1-27 x y z$ . Ta thấy rằng khi thay x và y bởi $t=\frac{x+y}{2}$ thì điều kiện $\left({ }^*\right)$ vẫn bảo toàn (tức là vẫn có t+t+z=1 ), nên ta chỉ phải xem xét sự thay đổi của x y z.

Theo BĐT Cauchy với 2 biến (chứng minh rất đơn giản) thì $x y \leq t^2, nên x y z \leq t^2 z$ . Vậy $f(x, y, z) \geq f(t, t, z).$

Cuối cùng để ý là z=1-2 t nên ta có:

$f(t, t, z)=1-27 t^2 z=1-27 t^2(1-2 t)=(1+6 t)(1-3 t)^2 \geq 0$

và bài toán chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi x=y và 3 t=1, nghĩa là x=y=1 / 3, tương đương với x=y=z.

*Nhận xét:

1) Có thể nhiều bạn sẽ bỡ ngỡ với cách chuẩn hóa ờ trên. Chúng tôi xin nói rõ: không có gì là bí ẩn ở đây cả. Nếu thích, các bạn hoàn toàn có thể chuẩn hóa theo cách khác, chẳng hạn giả sử x y z=1 và chúng minh $f(x, y, z) \geq 0 với f(x, y, z)=x+y+z-3$ . Khi đó bước dồn biến sẽ là chứng minh $f(x, y, z) \geq f(t, t, z)$ với $t=\sqrt{x y}.$ Đề nghị bạn đọc tụ lý giải vì sao trong lời giải trên thì ta xét $t=\frac{x+y}{2}$ còn do đây lại xét $t=\sqrt{x y}$ , và sau đó hoàn thành chứng minh theo cách này.