Đáp án + Giải thích các bước giải:

a)

Ta có: `\hat{ABE}=1/2sđ\stackrel\frown{AE}` (Góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn)

Lại có: `\hat{EAH}=1/2sđ\stackrel\frown{AE}` (Góc tạo bởi dây cung và tiếp tuyến bằng nửa số đo cung bị chắn)

`=>\hat{ABE}=\hat{EAH}(=1/2sđ\stackrel\frown{AE})`

Vậy `\hat{ABE}=\hat{EAH}`

b)

Xét `\DeltaAEC` có: `EH` vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên `\DeltaAEC` cân tại `E`

`=>\hat{EAC}=\hat{ECA}`

Mà: `\hat{EAC}=\hat{ABE}(cmt)`

`=>\hat{ECA}=\hat{ABE}` 

`=>BKHC` nội tiếp

`=>\hat{BKC}=\hat{BHC}=90^o`

Tứ giác `AHEK` có: `\hat{AHE}+\hat{AKE}=90^o` nên tứ giác `AHEK` nội tiếp

Vậy tứ giác `AHEK` nội tiếp

c)

Từ `O`, kẻ `OD\botAB(D\inAB)`

Trong `(O)`: `OD\botAB` nên `D` là trung điểm `AB`

`=>AD=1/2AB=1/2R\sqrt3`

Áp dụng định lý Pytago vào `\DeltaADO` vuông tại `D` có:

`OD=\sqrt{AO^2-AD^2}=\sqrt{R^2-(1/2R\sqrt3)^2}=\sqrt{1/4R^2}=1/2R`

Xét `\DeltaOAD` và `\DeltaABH` có:

`\hat{ODA}=\hat{AHB}=90^o`

`\hat{OAD}=\hat{ABH}` (So le trong do `AO ////HB(\botAC)`)

`=>\DeltaOAD` $\backsim$ `\DeltaABH(g.g)`

`=>(OD)/(OA)=(AH)/(AB)`

`=>AH=(OD.AB)/(OA)=(1/2R.R\sqrt3)/R=1/2R\sqrt3`

Vậy để `AB=R\sqrt3` thì `H` nằm trên đường thẳng `d` sao cho `AH=1/2R\sqrt3`

a)

Ta có:

`hat{ABE}=1/2sđ`$\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}$(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

`hat{EAH}=1/2sđ`$\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}$(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

`⇒hat{ABE}=hat{EAH}(1)`

b)

Xét `ΔAEC` ta có:

`{(CH=AH),(EH\botAC):}`

`⇒ΔAEC` cân tại `E`

`⇒hat{EAH}=hat{ECH}(2)`

Từ `(1),(2)⇒hat{ABE}=hat{ECH}`

Xét `ΔHEC` và `ΔKEB` ta có:

`{(hat{ABE}=hat{ECH}),(hat{HEC}=hat{KEB}(\text{đối đỉnh})):}`

`⇒ΔHEC` $\backsim$ `ΔKEB` (g.g)

`⇒hat{EHC}=hat{EKB}` mà `hat{EHC}=90^o`

`⇒hat{EKB}=90^o`

`⇒hat{EKA}=90^o`

Xét tứ giác `AHEK` ta có:`hat{EKA}+hat{EHA}=90^o + 90^o=180^o`

`⇒` tứ giác `AHEK` nội tiếp.

c)

Kẻ đường kính `AD`

Xét `ΔABD` có `AO=DO=BO(=R)`

`⇒ΔABD` vuông tại `A`

`⇒hat{ABD}=90^o`

Xét `ΔABD` vuông tại `A` ta có:

`BD^2+AB^2=AD^2`

`⇒BD=\sqrt{AD^2-AB^2}=\sqrt{(2R)^2-(\sqrt{3}R)^2}=R`

Do `(d)` tiếp xúc `(O)` tại `A⇒hat{DAC}=90^o`

Ta có:`hat{ABH}=hat{BAD}`(cùng phụ với `hat{BAH}`)

Xét `ΔABH` và `ΔDAB` ta có:

`{(hat{AHB}=hat{ABD}=(90^o)),(hat{ABH}=hat{BAD}):}`

`⇒ΔABH` $\backsim$ `ΔDAB` (g.g)

`⇒(BA)/(AH)=(AD)/(BD)`

`⇒(\sqrt{3}R)/(AH)=(2R)/(R)`

`⇒AH=(\sqrt{3}R)/2`

Vậy `H` cách `A` một khoảng bằng `AH=(\sqrt{3}R)/2` thì `AB=\sqrt{3}R`