Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `a)\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8+6\sqrt{x-1}}=5`

`dkxd:x>=1`

`pt<=>\sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{x-1+6\sqrt{x-1}+9}=5`

`<=>\sqrt{(\sqrt{x-1}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}+3)^2}=5`

`<=>|\sqrt{x-1}-2|+|\sqrt{x-1}+3|=5`

`<=>|2-\sqrt{x-1}|+|\sqrt{x-1}+3|=5`

Áp dụng bđt `|A|+|B|>=|A+B|`

`<=>|2-\sqrt{x-1}|+|\sqrt{x-1}+3|>=5`

Dấu "=" xảy ra khi `AB>=0`

`<=>(2-\sqrt{x-1})(\sqrt{x-1}+3)>=0`

Mà `\sqrt{x-1}+3>=3>0`

`<=>2-\sqrt{x-1}>=0`

`<=>\sqrt{x-1}<=2`

`<=>x-1<=4<=>x<=5`

Vậy phương trình có tập nghiệm `S={x|1<=x<=5}.`

`b)4x^2+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}`

`dkxd:x>=1/2`

`pt<=>(4x^2-4x\sqrt{x+3}+x+3)+(2x-1-2\sqrt{2x-1}+1)=0`

`<=>(2x-\sqrt{x+3})^2+(\sqrt{2x-1}-1)^2=0`

Vì `VT>=0AAx>=1/2`

Dấu "=" xảy ra khi `{(2x-\sqrt{x+3}=0),(\sqrt{2x-1}=1):}<=>x=1(tmdk)`

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất `x=1.`

`c)\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x}=x^2-10x+27`

`dkxd:4<=x<=6`

Ta có BĐT phụ `\sqrt{A}+\sqrt{B}<=\sqrt{2(A+B)}`

để cm thì cũng rất đơn giản ta bình phương 2 vế:

`A+B+2\sqrt{AB}<=2(A+B)`

`<=>A-2\sqrt{AB}+B>=0<=>(\sqrt{A}-\sqrt{B})^2>=0` đúng với mọi `A,B>=0`

Áp dụng BĐT trên ta có:

`\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x}<=\sqrt{2(x-4+6-x)}=2`

Mặt khác `x^2-10x+27=(x-5)^2+2>=2AA4<=x<=6`

Vậy để `\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x}=x^2-10x+27`

`<=>{(\sqrt{x-4}=\sqrt{6-x}),(x-5=0):}<=>x=5`

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất `x=5.`