`a,`

Vì `MA,MB` là tiếp tuyến của `(O)`

`-> OA⊥MA,OB⊥MB`

Xét tứ giác `OAMB` ta có:

`hat{OAM}=hat{OBM}=90^o`

`-> hat{OAM}+hat{OBM}=180^o`

`->` Tứ giác `OAMB` nội tiếp.$(*)$

Lại có `E` là trung điểm của `CD`

`->OE⊥CD`

Xét  tứ giác `OEMB` ta có:

`hat{OEM}=hat{OBM}=90^o`

`-> hat{OEM}+hat{OBM}=180^o`

`->` Tứ giác `OEMB` nội tiếp.$(**)$$

Từ $(*),(**)$ ta có:

`M,A,E,O,B` nội tiếp.

`b,`

Xét `(O)` ta có:

$\bullet$ `hat{MAC}` là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung `AC`

$\bullet$ `hat{MDA}` là góc nội tiếp chắn cung `AC`

`-> hat{MAC}=hat{MDA}`

Xét `ΔMAC` và `ΔMDA` ta có:

`hat{MAC}=hat{MDA}`

`hat{DMA}` chung

`->` `ΔMAC` $\backsim$ `ΔMDA` `(g-g)`

`->` `(MC)/(MA)=(MA)/(MD)`

`-> MC.MD=MA^2`

Áp dụng định lý pytago vào `ΔMAO` vuông tại `A` ta có:

`MA^2=MO^2-OA^2=MO^2-R^2`

`-> MC.MD=MA^2=MO^2-R^2`

`c,`

Ta có: `MD=MC;OC=OD`

`-> MO` là đường trung trực của `CD`

`->  MO⊥CO`

Tương tự ta có: `OM ⊥AB`

Mà `Δ GDE` $\backsim$ `ΔGOD`

`-> hat{OGD}= hat{CDO}`

Áp dụng hệ thức lương vào `Δ OMA` đường cao `AH` ta có:

`MH.MO=MA^2=MC.MD`

`-> (MH)/(MC)=(MD)/(MO)`

Xét `ΔMHC` và `ΔMDO` ta có:

` (MH)/(MC)=(MD)/(MO)`

`hat{DMO}` chung

`→` `ΔMHC` $\backsim$ `ΔMDO` `(c-g-c)`

`→` `hat{MHC}=hat{ODC}`

`->` `hat{ODC}+hat{OHC}=180^o`

Xét tứ giác `DOHC` ta có:

`hat{ODC}+hat{OHC}=180^o`

`->` Tứ giác `DOHC` nội tiếp

`->` `hat{DHO}=hat{OCD}=hat{CDO}=hat{DGO}`

Xét tứ giác `GDOH` ta có:

`hat{DHO]=hat{DGO}`

`->` Tứ giác `GDOH` nội tiếp

`->` `hat{GHO}+hat{ODG}=180^o`

`->` `hat{GHO}=90^o`

`->` `GH⊥OH`

Mà `AB⊥OH`

`->` `G,A,B` thẳng hàng

`->` `đpcm` 

`d,`

Kẻ `OF⊥(d)` 

`AB` cắt `OF` tại `I` 

Xét tứ giác `IHMF` ta có:

`hat{IHM}=hat{IFM}=90^o`

`->` `hat{IHM}=hat{IFM}`

`->` Tứ giác `IHMF` nội tiếp

Ta có: `ΔOIH` $\backsim$ `ΔOMF` `(g-g)`

`->` `OI.OF=OH.OM=OA^2=R^2`

Mà `(d)` không đổi `->` `OF` không đổi

`->` `OI` cũng không đổi

`->` `AB` luôn đi qua điểm `I` cố định.

`a)` Xét `(O)` có:

`+)MA` là tiếp tuyến tại `A(g t)`

`=>MA⊥OA` tại `A(đl)`

`=>hat(MAO)=90^0`

`+)MB` là tiếp tuyến tại `B(g t)`

`=>MB⊥OB` tại `B(đl)`

`=>hat(MBO)=90^0`

`+){:(\text{OE là 1 phần đường kính}),(\text{CD là dây không qua tâm}),(\text{E là trung điểm CD(gt)}):}}`

`=>OE⊥CD` tại `E(đl)`

`=>hat(MEO)=90^0`

Xét tứ giác `MAOB` có:

`hat(MAO)=90^0(cmt)`

`hat(MBO)=90^0(cmt)`

`=>{:(hat(MAO)+hat(MBO)=90^0+90^0=180^0),(\text{Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau}):}}`

`=>` Tứ giác `MAOB` nội tiếp `(dhnb)`

`=>4` điểm `M,A,O,B` cùng nằm trên một đường tròn.  `(1)`

Xét tứ giác `MEOB` có:

`hat(MEO)=90^0(cmt)`

`hat(MBO)=90^0(cmt)`

`=>{:(hat(MEO)+hat(MBO)=90^0+90^0=180^0),(\text{Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau}):}}`

`=>` Tứ giác `MEOB` nội tiếp `(dhnb)`

`=>4` điểm `M,E,O,B` cùng nằm trên một đường tròn.  `(2)`

Từ `(1)` và `(2)=>5` điểm `M,A,E,O,B` cùng nằm trên một đường tròn `-đpcm`

`b)` Xét `(O)` có:

`{:(hat(MAC)=1/2sđhat(AC)\text{(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC)}),(hat(MDA)=1/2sđhat(AC)\text{(góc nội tiếp chắn cung AC)}):}}`

`=>hat(MAC)=hat(MDA)(hq)`

Xét `ΔMAC` và `ΔMDA` có:

`hatM` chung

`hat(MAC)=hat(MDA)(cmt)`

`=>ΔMAC` $\backsim$ `ΔMDA(gg)`

`=>(MC)/(MA)=(MA)/(MD)` (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

`=>MC.MD=MA^2`  `(3)`

Xét `ΔMAO` vuông tại `A` có:

`MO^2=MA^2+OA^2(Pytago)`

`=>MA^2=MO^2-OA^2`

`=>MA^2=MO^2-R^2`  `(4)`

Từ `(3)` và `(4)=>MC.MD=MA^2=MO^2-R^2-đpcm`

`c)` Gọi `F` là giao điểm của các tiếp tuyến tại `C,D` của đường tròn `(O;R)`

Xét `(O)` có: `+)FD` là tiếp tuyến tại `D(g t)`

`=>FD⊥OD` tại `D(đl)`

`=>hat(FDO)=90^0`

Ta có: `+){:(MA=MB\text{(do MA, MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M-gt)}),(OA=OB(=R)):}}`

`=>MO` là đường trung trực của `AB`

`=>MO⊥AB` tại `H`

`+){:(FC=FD\text{(do FC, FD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại F-gt)}),(OC=OD(=R)):}}`

`=>FO` là đường trung trực của `CD`

`=>FO⊥CD` tại `E`

Xét `ΔMAO` vuông tại `A,` đường cao `AH` có:

`OA^2=OH.OM(htl)`

`=>R^2=OH.OM`  `(5)`

Xét `ΔFDO` vuông tại `D,` đường cao `DE` có:

`OD^2=OE.OF(htl)`

`=>R^2=OE.OF`  `(6)`

Từ `(5)` và `(6)=>OH.OM=OE.OF(=R^2)`

`=>(OH)/(OE)=(OF)/(OM)`

Mà `hat(MOF)` chung

`=>ΔOHF` $\backsim$ `ΔOEM` `(cgc)`

`=>hat(OHF)=hat(OEM)` (2 góc tương ứng)

Mà `hat(OEM)=90^0(cmt)`

`=>hat(OHF)=90^0`

`=>OH⊥FH` tại `H`

Mà `OH⊥AB` tại `H(cmt)`

`=>F,A,B` thẳng hàng

`=>` Các tiếp tuyến tại `C,D` của đường tròn `(O;R)` cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thắng `AB-đpcm`

`d)` Kẻ `OI⊥d` tại `I,AB` cắt `OI` tại `N`

Xét `ΔOHN` và `ΔOIM` có:

`hat(MOI)` chung

`hat(OHN)=hat(OIM)(=90^0)`

`=>ΔOHN` $\backsim$ `ΔOIM(gg)`

`=>(OH)/(OI)=(ON)/(OM)` (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

`=>ON=(OH.OM)/(OI)=R^2/(OI)-` không đổi

Mà `I` cố định, `N\inOI` cố định

`=>N` cố định

`=>AB` đi qua `N` cố định `-đpcm`

`@Thangg7109612009`