Làm theo đề gốc: Cho `m,n,k` nguyên dương thỏa mãn `k = (m-n)^2/(4m(m-n)^2+4)`. CMR: `k` là số chính phương

Bài rất khó, thề (không chắc đúng)

_______________________________________________________

Xét các trường hợp sau:

$\bullet$ `TH_{1}: m = n` thì hiển nhiên `k = m^2` là số chính phương 

$\bullet$ `TH_{2}: m \ne n` có:

Từ gt `<=> 4 | m+n`

`<=> 4 | (m-n)^2 + 4mn`

`<=> 4 | (m-n)^2`

Lại có: `m+n \equiv m-n \equiv 0` $\pmod{2}$

Đến đây ta xét các trường hợp:

`@ m > n` thì lúc đó tồn tại các số `a,b in ZZ^+` sao cho $\begin{cases} a = \dfrac{m+n}{2}\\b = \dfrac{m-n}{2} \end{cases}$

`=> a+b = m`

Ta có: `k = (m+n)^2/(4m(m-n)^2+4) = (4a^2)/(4(a+b).4b^2+4) = a^2/(4(a+b)b^2+1)`

`<=> a^2 = 4kb^2(a+b) + k`

`<=> a^2 = 4kab^2 + 4kb^3 + k`

`<=> a^2 - (4kb^2)a - (4kb^3+ k) = 0` `(1)`

Xét pt `(1)` ẩn `a` có: 

`\Delta_{a} = (4kb^2)^2 + 4(4kb^3+k) = 4(4k^2b^4 + 4kb^3 + k)`

Để pt `(1)` có nghiệm nguyên dương 

`=> \Delta_{a}` là số chính phương

`=> 4k^2b^4 + 4kb^3 + k` là số chính phương

Mặt khác, ta xét hiệu: `4k^2b^4+4kb^3+k - (2kb^2 + b - 1)^2 = b^2(4k-1) + 2b + k -1`

Do `k,b` nguyên dương `=> b^2(4k-1) + 2b + k -1 > 0`

`=> (2kb^2 + b - 1)^2 < 4k^2b^4+4kb^3+k`

CMTT: `4k^2b^4+4kb^3+k < (2kb^2+b+1)^2`

`=>  (2kb^2 + b - 1)^2 < 4k^2b^4+4kb^3+k < (2kb^2+b+1)^2`
Mà `4k^2b^4 + 4kb^3 + k` là số chính phương

`=> 4k^2b^4 + 4kb^3 + k = (2kb^2+b)^2`

`<=> 4k^2b^4 + 4kb^3 + k = 4k^2b^4 + 4kb^3 + b^2`

`<=> k = b^2` là số chính phương
$\\$

`@` Tương tự với `m < n` ta đều chứng minh được `k` là số chính phương (đpcm)

 Có : `4k=((m+n)^2)/(m(m-n)^2 +1)` với `m,n,k\in NN`*

`<=>4k=((m-n)^2 +4mn)/(m(m-n)^2 +1)`

`<=>4km(m-n)^2 +4k=(m-n)^2 +4mn`

`<=>(m-n)^2 (4km-1)=4(mn-k)`

`=>mn-k\vdots 4km-1` ( Do `4km-1` lẻ ) 

Lại có : `4km(m-n)^2 +4k=(m+n)^2`

`<=>4km(m+n)^2 -4km^2 n+4k=(m+n)^2`

`<=>(m+n)^2 (4km-1)=4k(m^2 n-1)`

`=>m^2 n-1\vdots 4km-1` ( Do `4km-1` lẻ và ước chung lớn nhất của `k` và `4km-1` là `1` )

`=>m(mn-k)+km-1\vdots 4km-1`

`=>km-1\vdots 4km-1` ( Do `mn-k\vdots 4km-1` )

`=>4km-4\vdots 4km-1`

`=>3\vdots 4km-1`

`=>4km-1\in Ư(3)={+-1;+-3}`

Mà `4km-1>=4-1=3=>4km-1=3<=>km=1<=>k=m=1` ( Do `k,m\in NN`* )

Do đó `k` là số chính phương 

Vậy `k` là số chính phương