Ta có vì $v_0=500m/s, g=10m/s^2$ nên nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là 

$\begin{array}{l}
y =  - \dfrac{{10}}{{{{2.500}^2}{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \\
 = \dfrac{{ - 1}}{{50000{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha
\end{array}$

Khi đạn chạm đất thì đó thì khoảng cách từ lúc đạn được bắn đi đến lúc chạm đât được gọi là tầm bắn của đạn. Khi đạn chạm đất thì $y=0$ và  $x$ theo $y$ lúc này  chính là tầm bắn của đạn 

$\begin{array}{l}
\dfrac{{ - 1}}{{50000{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha  = 0\\
 \Leftrightarrow x\left( { - \dfrac{1}{{50000{{\cos }^2}x}}x + \tan \alpha } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \dfrac{{\tan \alpha .{{\cos }^2}\alpha }}{{\dfrac{1}{{50000}}}} = 50000\cos \alpha \sin \alpha 
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 25000\sin 2\alpha 
\end{array} \right.
\end{array}$

Loại $x=0$ vì đạn lúc này chưa được bắn

Suy ra được tâm bắn của đạn là $x=25000\sin 2\alpha, \sin 2\alpha\le 1\Rightarrow x=25000(m)$
Vậy lúc đạn bắn xa nhất thì $\begin{array}{l}
\sin 2\alpha  = 1 \Leftrightarrow 2\alpha  = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\
 \Leftrightarrow \alpha  = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb Z} \right)
\end{array}$

Suy ra góc $\alpha=45^o$ thì đạn bay xa nhất.