Xét `f(x)=x^3-2x^2+x-1-2/x+m/(x+3)` có TXĐ `D=RR\\{0;-3}`

Ta có: `lim_{x to 0^+} f(x)= lim_{x to 0^+} (x^3-2x^2+x-1-2/x+m/(x+3))`

`=lim_{x to 0^+} (-2/x-1+m/3)`

`=-oo`

Do `-2/x to -oo` khi `x to 0^+`

`=>` Tồn tại `x_0 in (0;1)` sao cho `f(x_0) < 0`

Lại có: `lim_{x to +oo} f(x)=lim_{x to +oo} (x^3-2x^2+x-1-2/x+m/(x+3))`

`=lim_{x to +oo} [x^3*(1-2/x+1/x^2-1/x^3-2/x^4+m/(x^4+3x^3))]`

`=+oo`

Do `{(x^3 to +oo),(1-2/x+1/x^2-1/x^3-2/x^4+m/(x^4+3x^3) to 1 > 0):}` khi `x to +oo`

`=>` Tồn tại `x_1 in (1;+oo)` sao cho `f(x_1) > 0`

Từ đó, suy ra: `f(x_0)*f(x_1) < 0`

Mà `f(x)` liên tục trên `(0;+oo)` `=>` `f(x)` liên tục trên `[x_1;x_2]`

`=>` `f(x)` có ít nhất một nghiệm thuộc `(x_1;x_2)` với mọi `m`

`=>` đpcm