Ta có tổng số viên bi có trong hộp là: $n+8\left(n \in \mathbb{N}^*\right)$.
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là: $n(\Omega)=C_{n+8}^3$.
Gọi $A$ là biến cố: "3 viên bi lấy được có đủ ba màu". Số kết quả thuận lợi cho $A$ là:
$$ n(A)=C_5^1 \cdot C_3^1 \cdot C_n^1=15 n \text {. } $$

Xác suất trong 3 viên bi lấy được có đủ ba màu là:
$$
P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{15 n}{C_{n+8}^3}=\dfrac{90 n}{(n+6)(n+7)(n+8)}
$$
Theo bài, ta có: $P(A)=\dfrac{45}{182}$ nên ta được phương trình:
$$
\dfrac{90 n}{(n+6)(n+7)(n+8)}=\dfrac{45}{182} \Leftrightarrow 364 n=(n+6)(n+7)(n+8) \Leftrightarrow n^3+21 n^2-218 n+336=0 .
$$
Vì $n$ nguyên dương nên $n=6$ thoả mãn .
Vì vậy trong hộp có tất cả 14 viên bi và $n(\Omega)=C_{14}^3$.
Gọi $B$ là biến cố: "3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ".

Suy ra, ${B}$ là biến cố: "3 viên bi lấy được đều là bi đỏ". Số kết quả thuận lợi cho ${B}$ là: $n(\bar{B})=C_5^3$.
Khi đó, xác suất $P$ để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:
$$
P=P(B)=1-P(\bar{B})=1-\dfrac{n(\bar{B})}{n(\Omega)}=1-\dfrac{C_5^3}{C_{14}^3}=\dfrac{177}{182} .
$$