Gọi `H` là hình chiếu vuông góc của `B` lên `(SCD)` `(H in (SCD))`

`=>` `(SB,(SCD))=(SB,SH)`

Theo cách dựng, ta có: `BH bot (SCD)`

`=>` `BH bot SH`

`=>` `DeltaSHB` vuông tại `H`

`=>` `sin hat(HSB)=(HB)/(SB)=(d(B,(SCD)))/(SB)`

Ta có: `SA bot (ABCD)` `=>` `SA bot AB` `=>` `DeltaSAB` vuông tại `A`

`=>` `SB=sqrt(SA^2+AB^2)=asqrt5`

Gọi `K` là điểm trên đoạn `AD` thỏa mãn `DK=BC=2a`

Khi đó tứ giác `BKDC` là hình bình hành

`=>` `BK //// DC`; Mà `BK cancel{subset} (SCD)` và `CD subset (SCD)`

`=>` `BK //// (SCD)`

`=>` `d(B,(SCD))=d(K,(SCD))`

Ta có: `AK nn (SCD)=D`

Theo Ta-lét, ta có: `(d(K,(SCD)))/(d(A,(SCD)))=(DK)/(DA)=2/3`

`=>` `d(K,(SCD))=2/3d(A,(SCD))`

Kẻ `AE bot CD` tại `E` và `AF bot SE`

Khi đó: `{:(AE bot CD),(SA bot CD),(AE nn SA={A}),(AE;SA subset (SAE)):} => CD bot (SAE) => CD bot AF`

Ta có: `{:(CD bot AF),(SE bot AF),(CD nn SE={E}),(CD;SE subset (SCD)):}} => AF bot (SCD)` tại `F`

`=>` `d(A,(SCD))=AF`

Xét `DeltaADC` có:

`AD=3a`

`AC=sqrt(AB^2+BC^2)=2sqrt2a`

`DC=sqrt(AB^2+(AD-BC)^2)=asqrt5`

`cos hat(DAC)=(DA^2+AC^2-DC^2)/(2*DA*AC)=sqrt2/2`

`=>` `sin hat(DAC)=sqrt2/2`

`=>` `S_(DeltaADC)=1/2*AD*AC*sin hat(DAC)=3a^2`

`=>` `AE=(2S_(DeltaADC))/(DC)=(6asqrt5)/5`

Ta có: `SA bot (ABCD) => SA bot AE => DeltaSAE` vuông tại `E`

`=>` `SE=sqrt(SA^2+AE^2)=(asqrt205)/5`

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: `AF*SE=SA*AE`

`=>` `AF=(SA*AE)/(SE)=(6asqrt41)/41`

`=>` `d(A,(SCD))=(6asqrt41)/41`

`=>` `d(K,(SCD))=d(B,(SCD))=(4asqrt41)/41`

`=>` `sin hat(HSB)=4/(sqrt205)`

`=>` `sin (SB,(SCD))=4/(sqrt205)`