Gọi `H` là hình chiếu vuông góc của `N` xuống `(ABC)`

`=>` `NH bot (ABC)`

Khi đó: `(MN,(ABC))=(MN,MH)`

Ta có: `NH bot (ABC) => NH bot MH` `=>` `DeltaMHN` vuông tại `H`

`=>` `sin hat(HMN)=(NH)/(MN)`

`+)` Tính `MN`

Ta có: `AN=(asqrt3)/2`, `BN=(asqrt3)/2` (Tính chất tam giác đều) và `AB=a`

`=>` `MN=sqrt((AN^2+BN^2)/2-(AB^2)/4)` (Công thức trung tuyến trong tam giác `DeltaANB`)

`=>` `MN=(asqrt2)/2`

`+)` Tính `NH`

Ta có: `CN=(SC)/2=a/2`, `MC=(asqrt3/2)` (Tính chất tam giác đều)

`=>` `cos hat(CNM)=(CN^2+MN^2-CM^2)/(2*CM*MN)=0`

`=>` `hat(CNM)=90^o`

`=>` `S_(DeltaCNM)=1/2*CN*NM=1/2*a/2*(asqrt2)/2=(a^2sqrt2)/8`

Mà: `S_(DeltaCNM)=1/2*NH*CM`

`=>` `1/2*NH*CM=(a^2sqrt2)/8`

`=>` `NH=(asqrt6)/6`

Như vậy, ta được: `sin hat(HMN)=sqrt3/3` `=>` `cos hat(HMN)=sqrt6/3`

`=>` `tan hat(HMN)=sqrt2/2`

`=>` `tan (MN,MH)=sqrt2/2`

`=>` `tan (MN,(ABC))=sqrt2/2`

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Vì SABC là tứ diện đều cạnh a nên

h

=

6

3

Gọi H là chân đường vuông góc từ N xuống (ABC)

H là trung điểm của OC

M

H

=

2

3

M

C

=

2

3

a

2

(

a

2

)

2

=

s

q

r

t

3

3

a

Vì N là trung điểm của SC nên

N

H

=

1

2

h

=

6

6

a

Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABC) là

ˆ

A

B

C

Vậy

t

a

n

ˆ

A

B

C

=

N

H

M

H

=

(

6

6

a

)

:

(

3

6

a

)

=

2