$\begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right)\sin 2x = 1 - 2m - \sin 2x\\
 \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)\sin 2x = 1 - 2m
\end{array}$

 Với m=-2$ thì $VT=0, VP=5$ vô lý

Với $m\ne -2 $ thì $\sin 2x=\dfrac{1-2m}{m+2}$

Đặt $t=2x$, $x \in \left[ {\dfrac{\pi }{{12}};\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) \Rightarrow t \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)$

Bài toán trở thành tìm $m$ sao cho $\sin t=\dfrac{1-2m}{m+2}$ có đúng $2$ nghiệm thuộc $\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)$

Phương pháp ốc sên, vẽ đồ thị $\sin x$ trên khoảng xác định và đường thẳng nằm ngang $y=\dfrac{1-2m}{m+2}$

Để cho phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc nửa khoảng đã cho ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2} \le \dfrac{{1 - 2m}}{{m + 2}} < 1\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{1 - 2m}}{{m + 2}} - \dfrac{1}{2} \ge 0\\
\dfrac{{1 - 2m}}{{m + 2}} - 1 < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{2 - 4m - m - 2}}{{2\left( {m + 2} \right)}} \ge 0\\
\dfrac{{1 - 2m - m - 2}}{{m + 2}} < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{ - 3m}}{{2\left( {m + 2} \right)}} \ge 0\\
\dfrac{{ - 1 - 2m}}{{m + 2}} < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{3m}}{{m + 2}} \le 0\\
\dfrac{{2m + 1}}{{m + 2}} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2 < m \le 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m >  - \dfrac{1}{2}\\
m <  - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < m \le 0
\end{array}$