Đáp án:

Gọi độ dài các cạnh tứ diện đều `ABCD` là `a`

       `M` là trung điểm của `AC`

`@` `IM` là đường trung bình `ΔABC`

`=>IM////AB, IM=(AB)/2 = a/2`

`=>(DI,AB)=(DI,IM)=hat(MID)`

`@ DI, DM` lần lượt là đường trung tuyến trong các `ΔDBC, ΔDAC` đều bằng nhau cạnh `a`

`=>DI, DM` đồng thời là đường cao

`=>DI=DM=(a sqrt3)/2`

`@` Áp dụng hệ quả định lý Cosin trong `ΔMID`:

`cos hat(MID)= (IM^2 + DI^2 - DM^2)/(2 .IM.DI)`

                    `= ((a/2)^2 + ((a sqrt3)/2)^2 - ((a sqrt3)/2)^2)/(2 .(a)/2. (a sqrt3)/2)`

                    `= (a^2/4)/( (a^2 sqrt3)/2)=sqrt3 /6`

`=>cos(DI,AB)=sqrt3 /6=sqrt a/b`

`=>{(a=3),(b=6):}`

Vậy `a^2 +b =3^2+6=15`