Đáp án:

a√3/2

Giải thích các bước giải:

Vẽ thêm :

Từ H vẽ HM // AB

Từ B vẽ BE // AC cắt HM tại E

Từ H vẽ HN ⊥ SM (HN ∈ SHM)

Từ E vẽ EK // HN

Vì BE // AC => BE // mp SAC => kc từ B đến (SAC) = kc từ E đến (SAC) (1)

Ta có

AC ⊥ HM

AC ⊥ SH (Vì SH ⊥ mp ABC)

==> AC ⊥ mp SHM   (dt vg với mat phang khi vuông góc ít nhất với 2 dt)

==> AC ⊥ EK  ( dt khi vuong goc voi mp thì vuong goc với tất cả dt trong mp ấy)

mặt khác EK ⊥ SM

==> EK ⊥ mp SAC

==> EK là kc từ E đến SAC

kết hợp với (1) => EK là kc từ B đến (SAC)                              (2)

Ta có HM = a/2   (vì HM là đtb trong tam giác ABC)               (3)

Mặt khác ta có

HC=HB; ^H1=^H2( đối đỉnh ); ^HBE=^HCM (so le)

Δ CHM = Δ HEB => H là trung điểm EM => HN là đtb trong Δ KME => EK=2HN (4)

Δ ABC vuông cân tại A => $BC^{2}$ = $AC^{2}$ +$AB^{2}$

=> BC=a√2 =>HB=a√2/2   (5)

ta có SH² = SB² -HB² = a²-a²2/4=a²(1-1/2)=a²/2

=>SH=a/√2 (6)

Ta có SM²=SH²+HM²

kết hợp (6) và (3)

=>SM²=a²/2 +a²/4

=>SM²=a²(2/4 +1/4)

=>SM²=a²(3/4)

=>SM=a√3/2       (7)

Ta có HM²=MN.SM (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

kết hợp (7) và (3)

=>(a/2)²=MN.a3/2

=>MN=(a²/4) / (3a/2)=(1/4) : (3/2) = (1/4) x (2/3)=a 1/6   (8)

Ta có HN²=HM²-MN²

kết hợp (8)

=>HN²=a²/4 - a²/16

=>HN²=a²(4/16 -1/16)

=>HN²=a²(3/16)

=>HN=a√3/4                   (9)

kết hợp với (4)

=>EK=2 HN=a√3/2