Đáp án:

 \(f = 18cm\)

Giải thích các bước giải:

Trường hợp ảnh thật:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OA}}{{OA'}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {d_1}' = 3.{d_1}\\
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OI}}{{A'B'}} = \dfrac{{OF'}}{{OA' - OF'}} = \dfrac{f}{{3{d_1} - f}}\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{f}{{3{d_1} - f}} \Rightarrow 3{d_1} - f = 3f\\
 \Rightarrow {d_1} = \dfrac{4}{3}f
\end{array}\)

Trường hợp ảnh ảo:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OA}}{{OA'}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {d_2}' = 3{d_2}\\
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OI}}{{A'B'}} = \dfrac{{OF'}}{{OA' + OF'}} = \dfrac{f}{{3{d_2} + f}}\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{f}{{3{d_2} + f}} \Rightarrow 3{d_2} + f = 3f\\
 \Rightarrow {d_2} = \dfrac{2}{3}f
\end{array}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{d_1} - {d_2} = 2b \Rightarrow \dfrac{4}{3}f - \dfrac{2}{3}f = 2.6\\
 \Rightarrow f = 18cm
\end{array}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}
{d_1} = \dfrac{4}{3}f = \dfrac{4}{3}.18 = 24cm\\
 \Rightarrow a = 24 - 6 = 18cm
\end{array}\)