Đáp án+Giải thích các bước giải:

$9^{2}-3^{x+1}+3m-1=0$ 
$⇔ 3^{2x}-3.3^{x}+3m-1=0$
Đặt: $3^{x}=t$  $(t>0)$
Phương trình trở thành:
$t^2-3t+3m-1=0$  $(1)$
Do $t>0$ nên để phương trình có 1 nghiệm duy nhất thì phương trình $(1)$ có 2 nghiệm trái dấu.
$⇔\left \{ {{Δ>0} \atop {P<0}} \right.$ 
$⇔\left \{ {{(-3)^2-4(3m-1)>0} \atop {3m-1<0}} \right.$ 
$⇔\left \{ {{13-12m>0} \atop {m<\frac{1}{3}}} \right.$ 
$⇔\left \{ {{m<\frac{13}{12}} \atop {m<\frac{1}{3}}} \right.$ 
$⇔m<\frac{1}{3}$

$→$ Theo tui thì với $m<\frac{1}{3}$ thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất là đúng.

- Ngoài ra: 
+ Để phương trình có $1$ nghiệm duy nhất thì còn có:

+) $Δ =0⇔m=\frac{13}{12}$
+) Phương trình có $2$ nghiệm dương, trong đó có $1$ nghiệm bằng $0,$ khi đó $m=\frac{1}{3}$.
Phương trình trở thành:
$t^2-3t=0⇔ t(t-3)=0$
$⇔$\(\left[ \begin{array}{l}t=0⇒3^x=0 (vo li) \\t=3⇒3^x=3⇔x=1\end{array} \right.\)