Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50 m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp x...

Hướng dẫn giải

Đổi: 200 m = 0,2 km, 50 m = 0,05 km.

Đặt CH = x (km) (x > 0).

Xét tam giác CHA vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

CA² = HA² + HC² = (0,05)² + x² = 0,0025 + x²

Suy ra CA = \(\sqrt {0,0025 + {x^2}} \) hay quãng đường di chuyển của Minh từ vị trí A đến điểm gặp nhau C dài \(\sqrt {0,0025 + {x^2}} \) km.

Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h nên thời gian di chuyển của Minh từ vị trí A đến điểm gặp nhau C là: \(\frac{{\sqrt {0,0025 + {x^2}} }}{5}\) (giờ).

Xét tam giác HAB vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

AB² = HB² + HA² ⇔ HB² = AB² – HA² = (0,2)² – (0,05)² = 0,0375

Suy ra HB = \(\frac{{\sqrt {15} }}{{20}}\).

Ta có: BC + CH = HB ⇔ BC = HB – CH = \(\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x\).

Do đó quãng đường di chuyển của Hùng từ B đến điểm gặp nhau C dài \(\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x\) km.

Vận tốc đạp xe của Hùng là 15 km/h nên thời gian di chuyển của Hùng từ B đến điểm gặp nhau là: \(\frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x}}{{15}} = \frac{{\sqrt {15} - 20x}}{{300}}\) (giờ).

Để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia thì thời gian di chuyển từ vị trí A đến C của Minh phải bằng thời gian di chuyển từ vị trí B đến C của Hùng.

Khi đó ta có phương trình: \(\frac{{\sqrt {0,0025 + {x^2}} }}{5} = \frac{{\sqrt {15} - 20x}}{{300}}\) (1).

Giải phương trình (1) ta có:

(1) \( \Leftrightarrow 60\sqrt {0,0025 + {x^2}} = \sqrt {15} - 20x\)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

3600.(0,0025 + x²) = 15 – 40\(\sqrt {15} \)x + 400x²

⇔ 3200x² + 40\(\sqrt {15} \)x – 6 = 0

⇔ x = \(\frac{{ - \sqrt {15} - 3\sqrt 7 }}{{160}}\) hoặc x = \(\frac{{ - \sqrt {15} + 3\sqrt 7 }}{{160}}\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình (1) ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Lại có điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = \(\frac{{ - \sqrt {15} + 3\sqrt 7 }}{{160}}\)≈ 0,0254.

Suy ra BC = BH – CH ≈ \(\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - 0,0254 \approx 0,1682\) km = 168,2 m.

Vậy vị trí C thỏa mãn yêu cầu đề bài là điểm cách B khoảng 168,2 m.