Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

a) Hàm số sin

Xét hàm số \(y = \sin x\)

• Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
• Tập giá trị: \([-1;1].\)
• Hàm số tuần hòa với chu kì \(2\pi \).
• Sự biến thiên:
  • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {-\frac{{ \pi }}{2} + k2\pi ;\,\,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
  • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).

• Đồ thị hàm số \(y = \sin x\)
  • Đồ thị là một đường hình sin.
  • Do hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
  • Đồ thị hàm số \(y = \sin x\):

​

b) Hàm số cosin

Xét hàm số \(y = \cos x\)

• Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
• Tập giá trị: \([-1;1].\)
• Hàm số tuần hòa với chu kì: \(2\pi \)
• Sự biến thiên:
  • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \pi + k2\pi ;\,\,k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).
  • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).
• Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)
  • Đồ thị hàm số là một đường hình sin.
  • Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
  • Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)​:

a) Hàm số \(y = \tan x\)

• Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\) 
• Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi.\) 
• Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\,\frac{\pi }{2} + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
• Đồ thị hàm số \(y = \tan x\)​
  • Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
  • Đồ thị hàm số \(y = \tan x\):

b) Hàm số \(y = \cot x\)

• Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\left( {k \in } \right)} \right\}.\) 
• Tập giá trị là \(\mathbb{R}.\)
• Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi .\) 
• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  \(\left( {k\pi ;\,\pi + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
• Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)
  • Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
  • Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)​:

Ví dụ 1:

Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\)

b) \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

c) \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\) xác định khi \(cosx\ne0\) hay \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)

b) Hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) xác định khi \(x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)

c) Hàm số \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)\) xác định khi \(\frac{\pi }{3} - 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} - k\frac{\pi }{2}\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

Ví dụ 2: 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 1\)

b) \(y=\sqrt{1+\cos2x}-5\)

Lời giải:

a) Ta có: \(- 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 3\)

\(\Rightarrow - 2 \le 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 1 \le 4\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, giá trị nhỏ nhất cả hàm số là -2.

b) Ta có: \(- 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2\)

\(\Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2 \Rightarrow - 5 \le \sqrt {1 + \cos 2x} - 5 \le \sqrt 2 - 5\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt2-5\), giá trị nhỏ nhất của hàm số là -5.

Ví dụ 3: 

Tìm chu kì tuần hoàn của các hàm số lượng giác sau:

a) \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\)

b) \(y = 2\cos 2x\)

c) \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Lời giải:

Phương pháp: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức cuả hàm số đã cho về một dạng tối giản và lưu ý rằng:

• Hàm số \(y = \sin x,y = \cos x\) có chu kì \(T=2\pi.\)
• Hàm số \(y = \tan x,y = \cot x\) có chu kì \(T=\pi.\)
• Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) cho chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}.\)
• Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) có chu kì \(T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}.\)

a) Hàm số \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)

b) Hàm số \(y = 2\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)

c) Hàm số \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \frac{\pi}{2} .\)

Trong phạm vi bài học HOCTAP247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về hàm số lượng giác. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số lượng giác mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình lượng giác, sự đơn điệu của hàm số lượng giác,....các em cần tìm hiểu thêm.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {3 - \sin x} .\)

  • A. \(\emptyset \)
  • B. \(\left[ { - 1;1} \right]\)
  • C. \(\left( { - \infty ;3} \right]\)
  • D. \(\mathbb{R}\)

• Câu 2:

  Tìm tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right).\)

  • A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

• Câu 3:

  Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3\)

  • A. M=5; m=1
  • B. M=5; m=-1
  • C. M=3; m=1
  • D. M=5; m=3

Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 2 trang 14 SGK Toán 11 NC

Bài tập 3 trang 14 SGK Toán 11 NC

Bài tập 4 trang 14 SGK Toán 11 NC

Bài tập 5 trang 14 SGK Toán 11 NC

Bài tập 6 trang 15 SGK Toán 11 NC

Bài tập 7 trang 16 SGK Toán 11 NC

Bài tập 8 trang 17 SGK Toán 11 NC

Bài tập 9 trang 17 SGK Toán 11 NC

Bài tập 10 trang 17 SGK Toán 11 NC

Bài tập 11 trang 17 SGK Toán 11 NC

Bài tập 12 trang 17 SGK Toán 11 NC

Bài tập 13 trang 17 SGK Toán 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.