Trang chủ Lớp 9 Toán Lớp 9 SGK Cũ Chương 2: Đường Tròn Hình học 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Hình học 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

1.1. Bài toán

Cho AB và CD là 2 dây (khác đường kính) của đường tròn (O;R). Gọi OE, OF theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB, CD. CMR: \(OE^2+EB^2=OF^2+FD^2\)

Áp dụng định lý pi-ta-go cho 2 tam giác vuông OEB và OFD ta có:

\(OE^2+EB^2=OB^2=R^2\) và \(OF^2+FD^2=OD^2=R^2\) ta có đpcm

1.2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Định lý 1:

Trong một đường tròn: 

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Định lý 2:

Trong một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 5, dây AB=8.

a) Tính khoảng cách từ O đến AB

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1, Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. CM: CD=AB

Hướng dẫn:

a) Gọi E là hình chiếu vuông góc của O lên AB. Khoảng cách từ O đến AB chính là OE

\(OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\)

b) Gọi F là hình chiếu vuông góc của O lên CD khi đó khoảng cách từ O đến CD chính là OF

Tứ giác OFIE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật nên OF=EI=AE-AI=4-1=3

suy ra OE=OF theo định lý 1 thì AB=CD

Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên trong đường tròn (A không trùng O). Chứng minh rằng trong tất cả các dây đi qua A thì dây vuông góc với OA tại A là dây ngắn nhất

Hướng dẫn: 

Gọi FG là dây vuông góc với OA, HE là dây bất kì của đường tròn (O) đi qua A. J là hình chiếu vuông góc của O lên HE. Khi đó ta luôn có \(OJ\leq OA\)

Theo định lý 2 thì bất kì dây HE nào thì đều lớn hơn dây FG. Do khoảng cách từ O đến FG là lớn nhất (OA)

Bài 3: Cho đường tròn tâm (O) các dây AB và CD bằng nhau. Các tia AB và CD cắt nhau tại  nằm bên ngoài đường tròn. Goij H, K lần lượt là trung điểm AB và CD. CMR:

a) EH=EK

b) EA=EC

Hướng dẫn:

a) Ta có: vì H, K là trung điểm AB và CD nên OH, OK lần lượt vuông góc với AB và CD. 

Xét 2 tam giác vuông OHE và OKE có: Huyền OE chung; OH=OK ( dây AB=CD) nên \(\Delta OHE=\Delta OKE(ch-cgv)\Rightarrow EH=EK\)

b) \(EA=EH+HA; EC=EK+KC\) mà EH=EK (CM trên); \(HA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=KC\Rightarrow EA=EC\)

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: 

 Cho đường tròn (O;R). Vẽ hai bán kính OA, OB . Trên các bán kính OA, OB lấy M,N sao cho OM=ON. Vẽ dây CD đi qua MN (M giữa C và N)

a) CM: CM=DN

b) giả sử \(\widehat{AOB}=90^{\circ}\) . Tính OM theo  R sao cho CM=MN=ND

Hướng dẫn:

Xét 2 tam giác COM và DON có: OM=ON (gt); \(\widehat{OCM}=\widehat{ODN}\) (OCD cân); OC=OD; \(\widehat{OMC}=\widehat{OND}\) 

nên \(\Delta COM=\Delta DON\Rightarrow DN=CM\)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN và đặt OH=x khi đó \(OM=x.\sqrt{2}\). Vì Tam giác OMN vuông cân nên HN=OH=x suy ra \(HD=3.x\)

do tam giác OHD vuông nên: \(OH^2+HD^2=OD^2\Rightarrow x^2+9.x^2=R^2\Rightarrow x=\frac{R}{\sqrt{10}}\Rightarrow OM=\frac{R}{\sqrt{5}}\)

Bài 2: Cho (O;R) vẽ 2 dây cung AB và CD không qua tâm và vuông góc với nhau tại M. Đặt OM=d, I, K là trung điểm AB, CD

a) CM: \(AB^2+CD^2=4(2R^2-d^2)\)

b) CM: \(AC^2+BD^2=4R^2\)

Hướng dẫn:

a) Tứ giác KMIO có 3 góc vuông nên KMIO là hình chữ nhật suy ra: OK=MI

Khi đó: \(AB^2+CD^2=(2AI)^2+(2KD)^2=4(AI^2+KD^2)\)

\(=4(R^2-OI^2+R^2-OK^2)=4(2R^2-(OI^2+IM^2))=4(2R^2-d^2)\)

b) Gọi AE là đường kính của (O).Ta sẽ chứng minh tứ giác CEBD là hình thang cân

Đầu tiên: do tam giác ABE có AE là đường kính nên ABE vuông tại B hay \(EB\perp AB\Rightarrow EB\parallel CD\)

Gọi H là trung điểm EB nên \(KH\perp EB\) nên tứ giác CEBD là hình thang cân \(\Rightarrow BD=CE\)

\(AC^2+BD^2=AC^2+CE^2=AE^2=4R^2\)

 

3. Luyện tập Bài 3 Chương 2 Hình học 9

Qua bài giảng Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

  • Biết được mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

3.1 Trắc nghiệm Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1

Bài tập 12 trang 106 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 13 trang 106 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 14 trang 106 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 15 trang 106 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 16 trang 106 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 3.1 trang 161 SBT Toán 9 Tập 1

4. Hỏi đáp Bài 3 Chương 2 Hình học 9

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

Bạn có biết?

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 9

Lớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK