Bài 3 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11
Tóm tắt bài
Đề bài
Dãy số \(u_n\) cho bởi: \(u_1= 3\); \(u_{n+1}\)= \( \sqrt{1+u^{2}_{n}}\),\( n ≥ 1\).
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp
Hướng dẫn giải
a) Để viết năm số hạng đầu tiên của dãy số ta tính \(u_n\) lần lượt tại \(n=1;2;3;4;5\).
b) Dựa vào các giá trị \(u_1;u_2;u_3;u_4;u_5\) dự đoán công thức tổng \(u_n\).
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh đảng thức đã cho đúng với \(n=1\).
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 1\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).
Lời giải chi tiết
a) Năm số hạng đầu của dãy số là \(u_1=3; u_2=\sqrt{10}; u_3=\sqrt{11}; u_4=\sqrt{12}; u_5=\sqrt{13}\).
b) Ta có: \(u_1= 3 = \sqrt9 = \sqrt{1 + 8}\)
\( u_2= \sqrt{10} = \sqrt{2 + 8}\)
\(u_3= \sqrt{11} = \sqrt{3 + 8}\)
\(u_4= \sqrt{12} = \sqrt{4 + 8}\)
...........
Từ trên ta dự đoán \(u_n= \sqrt{n + 8}\), với \(n \in {\mathbb N}^*\) (1)
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
- Với \(n = 1\), rõ ràng công thức (1) là đúng.
- Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là có \(u_k = \sqrt{k + 8}\) với \(k ≥ 1\), ta cần chứng minh \(u_{k+1}=\sqrt{(k+1)+8}\)
Theo công thức dãy số, ta có:
\(u_{k+1}\)= \( \sqrt{1+u^{2}_{k}}=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}=\sqrt{(k+1)+8}\).
Như vậy công thức (1) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy công thức (1) được chứng minh.
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK