Bài 5 trang 84 SGK Hình học 10

Đề bài

Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng \(d : 4x – 2y – 8 = 0.\)

Hướng dẫn giải

+) Gọi tọa độ tâm \(I\) của đường tròn dựa vào đường thẳng \(d.\)

+) Đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ nên: \(R = d\left( {I;\;Ox} \right) = d\left( {I;\;Oy} \right) \)\(\Leftrightarrow R = \left| {{x_I}} \right| = \left| {{y_I}} \right|.\)

Lời giải chi tiết

Vì đường tròn cần tìm tiếp xúc với hai trục tọa độ nên các tọa độ \(x_I; \,y_I\) của tâm \(I\) có thể là \(x_I=y_I\) hoặc \(x_I=-y_I\)

Đặt \(x_I=a\) thì ta có hai trường hợp \(I(a ; a)\) hoặc \(I(a ; -a)\). Ta có hai khả năng:

+) TH1: \(I(a; \, a)\):

Vì \(I\) nằm trên đường thẳng \(4x – 2y – 8 = 0\) nên tọa độ \(I(a ; a)\) là nghiệm đúng của phương trình đường thẳng \(4x – 2y – 8 = 0\), ta có:

\(4a – 2a – 8 = 0 \Rightarrow a = 4\)

Đường tròn cần tìm có tâm \(I(4; 4)\) và bán kính \(R = 4\) có phương trình là:

 \({(x - 4)^2} + {(y - 4)^2} = {4^2} \)\(\Leftrightarrow {(x - 4)^2} + {(y - 4)^2} = 16\)

+) TH2: \(I(a; -a)\): Khi đó ta có:

\(4a + 2a - 8 = 0  \Rightarrow a = \frac{4}{3}\)

Ta được đường tròn có phương trình là:

\((x -\frac{4}{3})^{2}+ (y +\frac{4}{3})^{2}= (\frac{4}{3})^{2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - {4 \over 3}} \right)^2} + {\left( {y + {4 \over 3}} \right)^2} = {{16} \over 9}\)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài.