Các phép Toán tập hợp lớp 10

Các phép toán tập hợp lớp 10

Trong bài viết này  sẽ giới thiệu tới các bạn một nội dung học rất quan trọng và bổ ích về các phép toán tập hợp!

I. Lý thuyết

1. Tập hợp

- Định nghĩa:

Trong toán học, tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự tụ tập của một số hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó. Người ta khẳng định những đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp và bất kỳ một đối tượng nào cũng đều có thể được đưa vào một tập hợp.

Trong lý thuyết tập hợp, người ta xem tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa. Nó tồn tại theo các tiên đề được xây dựng một cách chặt chẽ. Khái niệm tập hợp là nền tảng để xây dựng các khái niệm khác như số, hình, hàm số... trong toán học.

- Đặc điểm:

• Nếu a là phần tử của tập hợp A, ta ký hiệu a \({\displaystyle \in }\) A. Khi đó, ta cũng nói rằng phần tử a thuộc tập hợp A.
• Một tập hợp có thể là một phần tử của một tập hợp khác. Tập hợp mà mỗi phần tử của nó là một tập hợp còn được gọi là họ tập hợp.
• Lý thuyết tập hợp cũng thừa nhận có một tập hợp không chứa phần tử nào, được gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu là \({\displaystyle \emptyset }\). Các tập hợp có chứa ít nhất một phần tử được gọi là tập hợp không rỗng.

2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

- Các định nghĩa

• Hợp (Union): Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu \(A {\displaystyle \cup } B\)

Ta có x ∈ A ∪ B ⇔\(x \in A \ hoặc \ x\in B\)

• Giao (Intersection): Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu \(A {\displaystyle \cap } B\)

Ta có x ∈ A ∩ B ⇔\(x\in A \ và \ x \in B\)

• Hiệu (Difference): Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu \({\displaystyle A\setminus B}\)

Ta có: x ∈ A \ B ⇔\(x\in A \ và \ x \notin B\)

Lưu ý, A \ B # B \ A

• Phần bù: Khi B ⊂ A thì A\B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là CA B.

- Các tính chất cơ bản:

• Luật lũy đẳng:

\(A {\displaystyle \cup } A = A\)

\(A {\displaystyle \cap } A = A\)

Phát biểu: giao hoặc hợp của một tập hợp với chính nó cho kết quả là chính nó. Mặt khác, hợp của một tập với phần bù của nó cũng là chính nó nhưng giao của một tập với phần bù của nó lại là một tập rỗng.

• Luật hấp thụ (còn gọi là luật bao hàm):

\(A {\displaystyle \cup } (A {\displaystyle \cap } B) = A\)

\(A {\displaystyle \cap } (A {\displaystyle \cup } B) = A\)

Luật hấp thụ còn được viết dưới dạng khác như sau:

Nếu \(A {\displaystyle \subset } B \ thì \ A {\displaystyle \cup } B = B \ và \ A {\displaystyle \cap } B = A\)

• Luật giao hoán:

\(A {\displaystyle \cup } B = B {\displaystyle \cup } A\)

\(A {\displaystyle \cap } B = B {\displaystyle \cap } A\)

• Luật kết hợp:

\(A {\displaystyle \cap } (B {\displaystyle \cap } C) = (A {\displaystyle \cap } B) {\displaystyle \cap } C\)

\(A {\displaystyle \cup } (B {\displaystyle \cup } C) = (A {\displaystyle \cup } B) {\displaystyle \cup } C\)

• Luật phân phối:

\(A {\displaystyle \cap } (B {\displaystyle \cup } C) = (A {\displaystyle \cap } B) {\displaystyle \cup } (A {\displaystyle \cap } C)\)

\(A {\displaystyle \cup } (B {\displaystyle \cap } C) = (A {\displaystyle \cup } B) {\displaystyle \cap } (A {\displaystyle \cup } C)\)

• Luật De Morgan:

\({\displaystyle {\overline {A\cup B}}}= {\displaystyle {\overline {A}}\cap {\overline {B}}}\)

\({\displaystyle {\overline {A\cap B}}}= {\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}\)

Các phép toán tập hợp

II. Bài tập về các phép toán tập hợp

1. Tự luận

Ví dụ 1: Tập hợp các học sinh đang học ở một ngôi trường gồm có 10 học sinh. Gọi tập hợp của số học sinh đó là A, trong đó tập hợp hiển thị các học sinh lựa chọn học môn tiếng anh là B. Chuyển thành lời diễn đạt từ các ý sau: A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A.

Hướng dẫn:

1. A ∪ B: bao gồm tất cả học sinh đồng thời học tại lớp 10 và cũng đang học môn tiếng anh.

2. A ∩ B: bao gồm giao giữa học sinh đồng thời học tại lớp 10 và đang học môn tiếng anh ở trường.

3. A \ B: biểu hiện số học sinh đang học lớp 10 không bao gồm các học sinh học tiếng Anh.

4. B \ A: biểu hiện số học sinh đang học tiếng anh nhưng lại không ở lớp 10.

Ví dụ 2: Cho hai tập hợp:

A = { x ∈ R | x2 - 4x + 3 = 0};

B = { x ∈ R | x2 - 3x + 2 = 0}.

Tìm A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A.

Hướng dẫn:

Ta có: A= {1;3} và B= {1;2}

A ∪ B= {1;2;3}

A ∩ B= {1}

A \ B= {3}

B \ A= {2}

Ví dụ 3: Cho đoạn A= [-5;1] và khoảng B = (-3; 2). Tìm A ∪ B; A ∩ B.

Hướng dẫn:

A ∪ B= [-5;2)

A ∩ B= (-3;1]

Ví dụ 4: Cho A= {1,2,3,4,5,6,9}; B= {1,2,4,6,8,9} và C=  {3,4,5,6,7}

Tìm hai tập hợp (A \ B) ∪ (B \ A) và (A ∪ B) \\ (A ∩ B). Đưa ra nhận định hai tập hợp trên liệu có bằng nhau?

Hướng dẫn:

A \ B= {3,5}; B \ A= {8}

⇒ (A \ B) ∪ (B \ A)={3;5;8}

A ∪ B= {1,2,3,4,5,6,8,9}

A ∩ B= {1,2,4,6,9}

⇒ (A ∪ B) \\ (A ∩ B)= {3;5;8}

Do đó: (A \ B) ∪ (B \ A)=(A ∪ B) \\ (A ∩ B)

2. Trắc nghiệm:

Câu 1. Các ký hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “7 là số tự nhiên”?

A. 7⊂N

B. 7∈N

C. 7<Nư

D. 7≤N

Câu 2. Các kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “√22 không phải là số hữu tỉ”?

A. √2≠Q

B. √2⊄Q

C. √2∉Q

D. √2∈Q

Câu 3. Cho biết x là một phần tử của tập hợp A. Xét các mệnh đề sau:

(I):x∈A

(II):{x}∈A

(III):x⊂A

(IV):{x}⊂A

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

A. (I);(II)

B. (I);(III)

C. (I);(IV)

D. (II);(IV)

Câu 4. Cho hai tập hợp :       

A = {x |  x là ước số nguyên dương của 12}

B= {x |  x là ước số nguyên dương của 18}

Các phần tử của tập hợp A ∩ B là:

A. {0; 1; 2; 3; 6}.                        B. {1; 2; 3; 4}.      

C. {1; 2; 3; 6}.                            D. {1; 2; 3}.

Câu 5. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3; 4}, B = {2; 4; 6; 8}. Tập hợp nào  sau đây bằng tập hợp A ∩B ?

A. {2; 4}.                                      B. {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}.    

C. {6; 8}.                                      D.  {1; 3}.

Câu 6: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề?
(1) Hãy cố gắng học thật tốt!
(2) Số 20 chia hết cho 6.
(3) Số 5 là số nguyên tố.
(4) Số x là một số chẵn.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Câu 7: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề?
(1) Bạn có thích học toán không?
(2) Hôm nay trời đẹp quá!
(3) -3<2 ⇒2–√⇒2<1
(4) 2x+1=3
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Câu 8: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
A. Các bạn hãy làm bài đi!
B. Bạn có chăm học không?
C. Anh học lớp mấy?
D. Việt Nam là một nước thuộc châu Á

Câu 9: Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề?
A. Ăn phở rất ngon!
B. Hà Nội là thủ đo của Thái Lan
C. Số 12 chia hết cho 3
D. 2+3=5

Hy vọng rằng với những kiến thức mới về chứng minh các phép toán tập hợp trên đây, các bạn hoàn toàn có thể nắm chắc một cách dễ dàng và có những giờ học thư giãn!