Bài 9 trang 70 SGK Toán 9 tập 1
Tóm tắt bài
Đề bài
Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(B\). Tia \(DI\) và tia \(CB\) cắt nhau ở \(K\). Kẻ đường thẳng qua \(D\), vuông góc với \(DI\). Đường thẳng này cắt đường thẳng \(BC\) tại \(L\). Chứng minh rằng
a) Tam giác \(DIL\) là một tam giác cân;
b) Tổng \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB\).
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau\((\Delta{ADI}\) và \(\Delta{CDL})\) từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.
b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\) để đưa tổng đã cho về tổng của các số không đổi.
Lời giải chi tiết
a) Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có:
\(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\)
\(AD=CD\) (hai cạnh hình vuông)
\(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\) (cùng phụ với \(\widehat{CDI})\)
Do đó \(\Delta ADI=\Delta CDL\) (g.c.g)
Suy ra \(DI=DL\).
Vậy \(\Delta DIL\) cân (đpcm).
b) Xét \(\Delta{DLK}\) vuông tại \(D\), đường cao \(DC\).
Áp dụng hệ thức \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\), ta có:
\(\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DL^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) (mà \(DL=DI)\)
Suy ra \(\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)
Do \(DC\) không đổi nên \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) là không đổi.
Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\)
Nếu đề bài không cho vẽ \(DL\perp DK\) thì ta vẫn phải vẽ đường phụ \(DL\perp DK\) để có thể vận dụng hệ thức trên.
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 9
Lớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK