tìm `a;b;c;d` nguyên tố biết:
`sqrt[a - b] + sqrt[b - c] + sqrt[c - d] + d = 9`
$#nobody$
Dễ cm `sqrt[a - b] ; sqrt[b - c] ; sqrt[c - d]` phải là số tự nhiên
`sqrt[a - b] + sqrt[b - c] + sqrt[c - d] + d = 9(a >= b >= c >= d ; (a ; b ; c ; d) \in P)`
`<=> sqrt[a - b] + sqrt[b - c] + sqrt[c - d] = 9 - d`
Ta có:
`sqrt[a - b] + sqrt[b - c] + sqrt[c - d] >= 0 AA a >= b >= c >= d ; (a ; b ; c ; d) \in P)`
`=> 9 - d >= 0 <=> d <= 9`
Mà `d \in P => d \in {2 ; 3 ; 5 ; 7}`
Với `d = 2`
`=> sqrt[a - b] + sqrt[b - c] + sqrt[c - 2] = 7`
`<=> sqrt[a - b] + sqrt[b - c] = 7 - sqrt[c - 2]`
Ta có :
`sqrt[a - b] + sqrt[b - c] >= 0 AA a >= b >= c ; (a ; b ; c) \in P`
`=> 7 - sqrt[c - 2] >= 0 <=> sqrt[c - 2] <= 7`
`<=> c - 2 <= 49`
`<=> c <= 51`
Mà `c \in P`
`=> c \in {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47}`
`+) c = 2 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 2] = 7`
`<=> sqrt[a - b] = 7 - sqrt[b - 2]`
Lập luận tt `=> 7 - sqrt[b - 2] >= 0 <=> sqrt[b - 2] <= 7`
`<=> b - 2 <= 49`
`<=> b <= 51`
Mà `b \in P`
`=> b \in {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47}`
`++) b = 2 => sqrt[a - 2] = 7 <=> a - 2 = 49 <=> a = 51(ktm)`
`++) b = 3 => sqrt[a - 3] = 6 <=> a - 3 = 36 <=> a = 39(ktm)`
`++) b = 5 => sqrt[a - 5] = 7 - sqrt3 => L`
`++) b = 7 => sqrt[a - 7] = 7 - sqrt5 => L`
`++) b = 11 => sqrt[a - 11] = 4 <=> a - 11 = 16 <=> 27(ktm)`
`++) b = 13 => sqrt[a - 13] = 7 - sqrt11 => L`
`++) b = 17 => sqrt[a - 17] = 7 - sqrt15 => L`
`++) b = 19 => sqrt[a - 19] = 7 - sqrt17 => L`
`++) b = 23 => sqrt[a - 23] = 7 - sqrt21 => L`
`++) b = 29 => sqrt[a - 29] = 7 - 3sqrt3 => L`
`++) b = 31 => sqrt[a - 31] = 7 - sqrt29 => L`
`++) b = 37 => sqrt[a - 37] = 7 - sqrt35 => L`
`++) b = 41 => sqrt[a - 41] = 7 - sqrt39 => L`
`++) b = 43 => sqrt[a - 43] = 7 - sqrt41 => L`
`++) b = 47 => sqrt[a - 47] = 7 - 3sqrt5 => L`
`+) c = 3 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 3] = 6`
`=> sqrt[a - b] = 6 - sqrt[b - 3](b >= 3)`
lập luận tt `=> 6 - sqrt[b - 3] >= 0 <=> sqrt[b - 3] <= 6`
`<=> b - 3 <= 36 <=> b <= 39 => 3 <= b <= 39`
Mà `b \in P`
`=> b \in {3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 39}`
`++) b = 3 => sqrt[a - 3] = 6 <=> a - 3 = 36 <=> a = 39(ktm)`
`++) b = 5 => sqrt[a - 5] = 6 - sqrt2 => L`
`++) b = 7 => sqrt[a - 7] = 4 <=> a - 7 = 16 <=> a = 23(tm)`
`++) b = 11 => sqrt[a - 11] = 6 - 2sqrt2 => L`
`++) b = 13 => sqrt[a - 13] = 6 - sqrt10 => L`
`++) b = 17 => sqrt[a - 17] = 6 - sqrt14 => L`
`++) b = 19 => sqrt[a - 19] = 2 <=> a - 19 = 4 <=> a = 23(tm)`
`++) b = 23 => sqrt[a - 23] = 6 - 2sqrt5 => L`
`++) b = 29 => sqrt[a - 29] = 6 - sqrt26 => L`
`++) b = 31 => sqrt[a - 31] = 6 - 2sqrt7 => L`
`++) b = 37 => sqrt[a - 37] = 6 - sqrt34 => L`
`++) b = 39 => sqrt[a - 39] = 0 <=> a - 39 = 0 <=> a = 39(ktm)`
`=> (a ; b ; c ; d) = (23 ; 7 ; 3 ; 2) ; (23 ; 19 ; 3 ; 2)(1)`
`+) c = 5 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 5] = 7 - sqrt3 => L`
`+) c = 7 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 7] = 7 - sqrt5 => L`
`+) c = 11 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 11] = 4 <=> sqrt[a - b] = 4 - sqrt[b - 11](b >= 11)`
lập luận tt `=> 4 - sqrt[b - 11] >= 0 <=> sqrt[b - 11] <= 4`
`<=> b - 11 <= 16 <=> b <= 27 => 11 <= b <= 27`
Mà `b \in P => b \in {11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23}`
`++) b = 11 => sqrt[a - 11] = 4 <=> a - 11 = 16 <=> a = 27(ktm)`
`++) b = 13 => sqrt[a - 13] = 4 - sqrt11 => L`
`++) b = 17 => sqrt[a - 17] = 4 - sqrt15 => L`
`++) b = 19 => sqrt[a - 19] = 4 - sqrt17 => L`
`++) b = 23 => sqrt[a - 23] = 4 - sqrt21 => L`
`+) c = 13 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 13] = 7 - sqrt11 => L`
`+) c = 17 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 17] = 7 - sqrt15 => L`
`+) c = 19 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 17] = 7 - sqrt17 => L`
`+) c = 23 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 23] = 7 - sqrt21 => L`
`+) c = 29 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 29] = 7 - 3sqrt3 => L`
`+) c = 31 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 31] = 7 - sqrt29 => L`
`+) c = 37 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 37] = 7 - sqrt35 => L`
`+) c = 41 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 41] = 7 - sqrt39 => L`
`+) c = 43 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 43] = 7 - sqrt41 => L`
`+) c = 47 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 47] = 7 - 3sqrt5 => L`
Với `d = 3`
`=> sqrt[a - b] + sqrt[b - c] + sqrt[c - 3] = 6`
`<=> sqrt[a - b] + sqrt[b - c] = 6 - sqrt[c - 3] (c >= 3)`
lập luận tt `=> 6 - sqrt[c - 3] >= 0 <=> sqrt[c - 3] <= 6`
`<=> c - 3 <= 36 <=> c <= 39 => 3 <= c <= 39`
Mà `c \in P`
`=> c \in {3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37}`
`+) c = 3 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 3] = 6 <=> sqrt[a - b] = 6 - sqrt[b - 3] (b >= 3)`
lập luận tt `=> 6 - sqrt[b - 3] >= 0 <=> sqrt[b - 3] <= 6 <=> b - 3 <= 36`
`<=> b <= 39 => 3 <= b <= 39`
Mà `b \in P => b \in {3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37}`
`++) b = 3 => sqrt[a - 3] = 6 <=> a - 3 = 36 <=> a = 39(ktm)`
`++) b = 5 => sqrt[a - 5] = 6 - sqrt2 => L`
`++) b = 7 => sqrt[a - 7] = 4 <=> a - 7 = 16 <=> a = 23(tm)`
`++) b = 11 => sqrt[a - 11] = 6 - 2sqrt2 => L`
`++) b = 13 => sqrt[a - 13] = 6 - sqrt10 => L`
`++) b = 17 => sqrt[a - 17] = 6 - sqrt14 => L`
`++) b = 19 => sqrt[a - 19] = 2 <=> a - 19 = 4 <=> a = 23(tm)`
`++) b = 23 => sqrt[a - 23] = 6 - 2sqrt5 => L`
`++) b = 29 => sqrt[a - 29] = 6 - sqrt26 => L`
`++) b = 31 => sqrt[a - 31] = 6 - 2sqrt7 => L`
`++) b = 37 => sqrt[a - 37] = 6 - sqrt34 => L`
`=> (a ; b ; c ; d) = (23 ; 7 ; 3 ; 3) ; (23 ; 19 ; 3 ; 3) (2)`
`+) c = 5 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 5] = 6 - sqrt2 => L`
`+) c = 7 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 7] = 4 <=> sqrt[a - b] = 4 - sqrt[b - 7](b >= 7)`
lập luận tt `=> 4 - sqrt[b - 7] >= 0 <=> sqrt[b - 7] <= 4 <=> b - 7 <= 16`
`<=> b <= 23 => 7 <= b <= 23`
Mà `b \in P => b \in {7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23}`
`++) b = 7 => sqrt[a - 7] = 4 <=> a - 7 = 16 <=> a = 23(tm)`
`++) b = 11 => sqrt[a - 11] = 2 <=> a - 11 = 4 <=> a = 15(ktm)`
`++) b = 13 => sqrt[a - 13] = 4 - sqrt6 => L`
`++) b = 17 => sqrt[a - 17] = 4 - sqrt10 => L`
`++) b = 19 => sqrt[a - 19] = 4 - 2sqrt3 => L`
`++) b = 23 => sqrt[a - 23] = 0 <=> a = 23(tm)`
`=> (a ; b ; c ; d) = (23 ; 23 ; 7 ; 3)(3)`
`+) c = 11 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 11] = 6 - 2sqrt2 => L`
`+) c = 13 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 13] = 6 - sqrt10 => L`
`+) c = 17 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 17] = 6 - sqrt14 => L`
`+) c = 19 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 19] = 2 <=> sqrt[a - b] = 2 - sqrt[b - 19] (b >= 19)`
lập luận tt `=> 2 - sqrt[b - 19] >= 0 <=> sqrt[b - 19] <= 2 <=> b - 19 <= 4`
`<=> b <= 23 => 19 <= b <= 23`
Mà `b \in P => b \in {19 ; 23}`
`++) b = 19 => sqrt[a - 19] = 2 <=> a - 19 = 4 <=> a = 23(tm)`
`++) b = 23 => sqrt[a - 23] = 0 <=> a - 23 = 0 <=> a = 23(tm)`
`=> (a ; b ; c ; d) = (23 ; 19 ; 19 ; 3) ; (23 ; 23 ; 19 ; 3) (4)`
`+) c = 23 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 23] = 6 - 2sqrt5 => L`
`+) c = 29 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 29] = 6 - 2sqrt26 => L`
`+) c = 31 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 31] = 6 - 2sqrt7 => L`
`+) c = 37 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 37] = 6 - sqrt34 => L`
Với `d = 5`
`=> sqrt[a - b] + sqrt[b - c] + sqrt[c - 5] = 4`
`<=> sqrt[a - b] + sqrt[b - c] = 4 - sqrt[c - 5] (c >= 5)`
lập luận tt `=> 4 - sqrt[c - 5] >= 0 <=> sqrt[c - 5] <= 4`
`<=> c - 5 <= 16 <=> c <= 21 => 5 <= c <= 21`
Mà `c \in P => c \in {5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19}`
`+) c = 5 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 5] = 4 <=> sqrt[a - b] = 4 - sqrt[b - 5] (b >= 5)`
lập luận tt `=> 4 - sqrt[b - 5] >= 0 <=> sqrt[b - 5] <= 4 <=> b - 5 <= 16`
`<=> b <= 21 => 5 <= b <= 21`
Mà `b \in P => b \in {5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19}`
`++) b = 5 => sqrt[a - 5] = 4 <=> a - 5 = 16 <=> a = 21(ktm)`
`++) b = 7 => sqrt[a - 7] = 4 - sqrt2 => L`
`++) b = 11 => sqrt[a - 11] = 4 - sqrt6 => L`
`++) b = 13 => sqrt[a - 13] = 4 - 2sqrt2 => L`
`++) b = 17 => sqrt[a - 17] = 4 - 2sqrt3 => L`
`++) b = 19 => sqrt[a - 19] = 4 - sqrt14 => L`
`+) c = 7 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 7] = 4 - sqrt2 => L`
`+) c = 11 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 11] = 4 - sqrt6 => L`
`+) c = 13 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 13] = 4 - 2sqrt2 => L`
`+) c = 17 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 17] = 4 - 2sqrt3 => L`
`+) c = 19 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 19] = 4 - sqrt14 => L`
Với `d = 7 => sqrt[a - b] + sqrt[b - c] + sqrt[c - 7] = 2`
`<=> sqrt[a - b] + sqrt[b - c] = 2 - sqrt[c - 7] (c >= 7)`
lập luận tt `=> 2 - sqrt[c - 7] >= 0 <=> sqrt[c - 7] <= 2`
`<=> c - 7 <= 4`
`<=> c <= 11 => 7 <= c <= 11`
Mà `c \in P => c \in {7 ; 11}`
`+) c = 7 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 7] = 2 <=> sqrt[a - b] = 2 - sqrt[b - 7] (b >= 7)`
lập luận tt `=> 2 - sqrt[b - 7] >= 0 <=> sqrt[b - 7] <= 2`
`<=> b - 7 <= 4`
`<=> b <= 11 => 7 <= b <= 11`
Mà `b \in P => b \in {7 ; 11}`
`++) b = 7 => sqrt[a - 7] = 2 <=> a - 7 = 4 <=> a = 11(tm)`
`++) b = 11 => sqrt[a - 11] = 0 <=> a - 11 = 0 <=> a = 11(tm)`
`=> (a ; b ; c ; d) = (11 ; 7 ; 7 ; 7) ; (11 ; 11 ; 7 ; 7) (5)`
`+) c = 11 => sqrt[a - b] + sqrt[b - 11] = 0`
lập luận `=> a = b = 11`
`=> (a ; b ; c ; d) = (11 ; 11 ; 11 ; 7)(6)`
Từ `(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6)`
`=> (a ; b ; c ; d) = (23 ; 7 ; 3 ; 2) ; (23 ; 19 ; 3 ; 2) ; (23 ; 7 ; 3 ; 3) ; (23 ; 19 ; 3 ; 3) ; (23 ; 23 ; 7 ; 3) ; (23 ; 19 ; 19 ; 3) ; (23 ; 23 ; 19 ; 3) ; (11 ; 7 ; 7 ; 7) ; (11 ; 11 ; 7 ; 7) ; (11 ; 11 ; 11 ; 7)`
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống, toán học là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ". Hãy kiên trì và không ngừng nỗ lực trong việc chinh phục những con số và công thức này!
Lớp 10 - Năm đầu tiên ở cấp trung học phổ thông, chúng ta sẽ có nhiều bạn bè mới đến từ những nơi khác nhau. Ngôi trường mới, xa nhà hơn, mở ra một thế giới mới với nhiều điều thú vị. Hãy mở lòng đón nhận và tận hưởng những trải nghiệm mới!
Copyright © 2021 HOCTAPSGK