`a,`

Xét $\Delta$ `ABC` vuông tại `A`

Theo định lý Pythagore ta được:

`BC=`$\sqrt[]{AB^2 +AC^2}$

`⇒` `BC=`$\sqrt[]{6^2 +8^2}$

`⇒` `BC=10 cm`

Xét $\Delta$ `ABC` có `BD` là tia phân giác nên:

$\dfrac{AB}{AD}=$ $\dfrac{BC}{CD}$ (Tính chất đường phân giác trong tam giác)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{AB}{AD}=$ $\dfrac{BC}{CD}=$ $\dfrac{AB+BC}{AD+CD}=$ `16/8`

Ta có:

$\dfrac{AB}{AD}=$ `16/8` Hay $\dfrac{6}{AD}=$ `16/8` `⇒AD= 3cm`

$\dfrac{BC}{CD}=$ `16/8` Hay $\dfrac{10}{CD}=$ `16/8` `⇒CD= 5cm`

`b,`

Xét $\Delta$ `CMI` và $\Delta$ `CDI` có:

`CM=CD=5 cm`

$\widehat{MCI}=$ $\widehat{DCI} $ (gt)

`CI` chung

`⇒` $\Delta$ `CMI` `=` $\Delta$ `CDI` `(c.g.c)`

Do đó: $\widehat{CDI}=$ $\widehat{CMI}$ (Tương ứng)

Ta có: $\widehat{CMI}$ `+` $\widehat{IMB}=$ $180^o$

Xét $\Delta$ `ABD` có: `\hat{CDI}=` `\hat{A}+` `\hat{B_1}=` `90^o +``\hat{B_1}` (Góc ngoài)

Xét $\Delta$ `BMI` có: `\hat{IMC}=` `\hat{B_2}+` `\hat{BMI}`

Mà `\hat{B_2}=` `\hat{B_1}`

`⇒` `\hat{BIM}=``90^o`

`@Lynacute`

a)

Xét `ΔABC` vuông tại `A` ta có:

`AB^2+AC^2=BC^2`

`⇒BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10`(cm)

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

`(AD)/(AB)=(DC)/(BC)`

`⇒(AD)/6=(DC)/10`

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

`(AD)/6=(DC)/10=(AD+DC)/(6+10)=(AC)/16=8/16=1/2`

`⇒(AD)/6=1/2;(DC)/10=1/2`

`⇒AD=3;DC=5`(cm)

b)

Ta có:`MC=1/2BC=5`(cm)

Vì `IC` là tia phân giác `hat{DCM}` nên `hat{DCI}=hat{MCI}`

Xét `ΔDIC` và `ΔMIC` ta có:

`{(hat{DCI}=hat{MCI}),(\text{chung}IC),(CD=MC(=5)):}`

`⇒ΔDIC=ΔMIC`

`⇒hat{CDI}=hat{CMI}`

`⇒180^o-hat{CDI}=180^o-hat{CMI}`

`⇒hat{ADB}=hat{IMB}(1)`

Vì `BD` là tia phân giác `hat{ABC}` nên `hat{ABD}=hat{CBD}=hat{MBI}(2)`

Từ `(1),(2)⇒hat{BAD}=hat{BIM}` mà `hat{BAD}=90^o⇒hat{BIM}=90^o`